Резюме. Проведено разложение глубин поверхности Мохоровичича (М) по сферическим функциям до степени N=30. Статистический анализ разложения приводит к следующим основным выводам:

1) средняя глубина М равна 22.37+ 0.20 км,

2) геометрический центр фигуры, ограниченной М, смещен относительно центра масс Земли на 9.31 км в направлении  = -39⁰.9,  = 230⁰.9,

3) сжатия М, как полярное (l₁=0.0053), так и экваториальное (l₂=0.0015), значительно превышают сжатия геоида (0.00335 и 0.00001 соответственно),

4) основные черты рельефа М отражаются в гармониках до степени .

Построены и анализированы карты глубин и высот М при различной детальности представления (N = 30,9,5) и при различных поверхностях отсчета (геоид и гидростатический эллипсоид). Проведена предварительная оценка точности полученных результатов.
  

1) The average M depth is 22.37+ 0.20 km.

2) The displacement of the M figure center from the Earth center is 9.31 km in the direction: the latitude = -39.9 degrees, the longitude = 230.9 degrees.

3) The polar M flattening is 0.0053, the equatorial one is 0.0015. They considerably exceed the geoid flattenings (0.00335 and 0.00001).

4) The principal features of M relief are represented in the 9 degree expancion.

The maps of the M depths (relative to geoid) and of the M altitudes (relative to the hydrostatic figure) are obtained and analysed for N = 30,9,5. The reliability of the resulting data is estimated.
  

Для изучения строения глубинных недр Земли, в том числе и ядра, на основе гравитационного поля Земли, из поля необходимо исключить влияние приповерхностных слоев планеты. Обычно это делают, используя модель эквивалентного (однородного по плотности) рельефа, изостатически компенсированного на некоторой глубине, равной или большей средней глубине поверхности М (Мохоровичича). С целью более точного учета приповерхностных масс рельефа, а также проверки гипотезы изостатической компенсации масс рельефа, нами был проведен гармонический и статистический анализ глубин поверхности М.

В настоящее время данные о глубинах поверхности М, полученные по сейсмическим наблюдениям, довольно неоднородны как по точностям, так и по степени покрытия поверхности М наблюдениями. Поэтому потребовалась большая предварительная работа по сбору, систематизации и анализу исходной информации. Результаты такой работы, представленные в виде массива осредненных по 5⁰ х 5⁰ трапециям глубин d поверхности Мохо относительно геоида [1], и послужили исходным материалом для данной работы. Область покрытия поверхности М такими пятиградусными трапециями оказалась равна 85% ее поверхности: 87% для северного полушария и 82% для южного. Степень и однородность покрытия для различных регионов Земли видны на представленной карте (рис. 1). Точность представленных данных км, км. Данные по Антарктиде взяты при изостатической интерполяции.

В силу малости отличия поверхности относимости (геоида) от сферической (~ , где R - средний радиус Земли ), задача гармонического анализа решалась в сферическом приближении с относительной точностью . Поскольку исходные данные неравномерно распределены на поверхности М и не полностью ее покрывают, то невозможно использовать стандартный метод получения гармонических коэффициентов - метод интегрирования по сфере. Поэтому наиболее приемлемым в данном случае методом является метод наименьших квадратов ( МНК ).

Гармонические коэффициенты, т.е. коэффициенты , разложения поверхности М по сферическим функциям, находятся из решения системы 2223 условных уравнений вида , где i= 1  I, I = 2223;

- осредненные по пятиградусным трапециям значения глубин поверхности M, приписываемые центральной точке со сферическими координатами ; - веса точек;

;

; ; ; ; .

Поскольку исходные данные неравномерно покрывают различные полушария Земли, то для реалистического определения средней глубины поверхности M

 

мы определяли ее значения как по данным по всей поверхности , так и по отдельности для северного и южного  полушарий. Оказалось, что км; км; км ; 22.37 км. Для дальнейшего анализа нами было принято .

Так как система сферических функций является ортогональной на сфере, то коэффициенты каждой последующей степени N=

1 

N_k можно определять независимо путем последовательного решения N_k систем условных уравнений вида .

1 

Такой подход позволяет использовать для определения весьма удобное, к тому же не имеющее особенностей и не дающее при большой степени N накопления ошибок вычисления следующее рекуррентное соотношение:

,

где , , m = ( n - 2 )  0.

Значения полиномов определяются затем следующей формулой: . Для счета cos, используются также рекуррентные соотношения:

,

.

.

Они позволяют определить, до какой степениN_k целесообразно получить достоверное разложение, удовлетворяющее условию .

В таблице 1 представлены гармонические коэффициенты, полученные рассмотренным выше методом при = 1, N_k = 30.
 
Карта остаточных разностей показывает (рис. 2), что в разложении данной степени N_k = 30 не нашли отражение мелкие неровности поверхности M. Максимальные значения невязок достигают 5 км и, по-видимому, соответствуют переходным зонам ( тихоокеанское побережье Южной Америки, регионы Красного и Аравийского морей и Бенгальского залива, западное побережье Австралии, Западная Антарктида и Балтийский щит ). В остальных местах невязки не превышают 2  3 км.

На рис.3 показано, как уменьшаются ошибки аппроксимации наблюденных глубин с увеличением степени разложения N. Ошибка км характеризует средний разброс исходных глубин относительно средней поверхности, параллельной геоиду. При N=1 учитывается смещение центра средней поверхности M относительно центра масс Земли. При N=2 учитывается отличие эллиптичности M от эллиптичности геоида. Видно, что при N=9 среднеквадратическая ошибка аппроксимации сравнивается со средней ошибкой исходных данных (км ) и далее убывает очень медленно, достигая км при N=30.

Найденные коэффициенты позволяют определить некоторые глобальные параметры поверхности М. Так, значение 22.37 км позволяет определить средний радиус поверхности М:

` 6348.66 км, где = 6371.03 км.

Коэффициенты первой степени определяют смещение геометрического центра фигуры, ограниченной M , относительно центра масс Земли:

км

- смещение вдоль экваториальной оси, соответствующей = 0⁰;

км

- смещение вдоль экваториальной оси, соответствующей = 90⁰;

км

Таким образом, геометрический центр фигуры M смещен довольно значительно по отношению к геоиду: км в направлении = -39⁰.9, = 230⁰.9 (т.е. примерно к центру южной части Тихого океана).

На основе коэффициентов второй степени можно определить сжатие эллипсоида, наилучшим образом аппроксимирующего поверхность Мохо, и углы поворота его центральных осей относительно осей координат. Используя для этого формулы преобразования гармонических коэффициентов при повороте системы координат [2] , получим следующие результаты :

= - 3⁰.6 , = 18⁰.6 - координаты большой экваториальной полуоси a = 15.71 км ;

- 5⁰.3 , = 108⁰.9 - координаты малой экваториальной полуоси b = 6.15 км ;

= 83⁰.7, =74⁰.5 - координаты полярной полуоси c = - 21.86 км.

Следовательно, получим для полярного сжатия

, где км,

.

Мы видим, что сжатия поверхности Мохо значительно отличаются от сжатий геоида : , .

Коэффициенты разложения более высоких степеней позволяют найти некоторые статистические характеристики поверхности M. Так, кривая общей степенной дисперсии (рис. 4, кривая 1) , где  показывает, что основные черты рельефа M отражаются в гармониках 15 степени, при n>9 дисперсия падает примерно на порядок по сравнению с дисперсией 15 степени и с ростом степени разложения убывает очень медленно. Аналогичный вывод следует и из рис.3: при N> 9 аппроксимация рельефа M разложением степени N улучшается очень незначительно.

Статистическую неизотропность рельефа M, т.е. зависимость его характеристик от направления, можно оценить, определив степенные дисперсии его изменения по широте и по долготе: ,
,

._.

, 

n 

Построенные на основе дисперсионных характеристик автоковариационные функции рельефа M (рис. 5)

показывают наличие радиуса корреляции порядка 5⁰, что обусловлено, очевидно, осреднением исходной информации по пятиградусным площадкам. При  > , k < 0.6, что практически свидетельствует об отсутствии корреляции между точками, отстоящими больше, чем на 10⁰. Поэтому нельзя получить неизвестные глубины поверхности M путем аналитической интерполяции известных глубин на расстояние больше, чем 10⁰. Расстояние между экстремумами автоковариационной функции ( 40⁰) показывает, что в рельефе Мохо превалируют неоднородности горизонтальной протяженности порядка 40⁰ (соответствуют разложению до 5-ой степени).

Для иллюстрации сделанных выводов мы приводим карты высот поверхности M относительно среднего гидростатического эллипсоида (практически гомеоидного гидростатическому эллипсоиду Земли отстоящего от него на - 22.37 км ) при степенях разложения N =30, 9, 5 (рис.6). Видно, что уже при N = 5 на карте поверхности M прослеживаются корни крупнейших материков (Евразия, Африка, Северная и Южная Америка, Австралия, Антарктида) и поднятия под океанами (Тихий, Атлантический, Индийский). При N=9 картина поверхности M практически идентична картине при N= 30, сглаженной за счет мелких деталей, что подтверждает наш вывод о том, что при имеющейся точности наблюдений достаточно представлять поверхность M в виде разложения до степени N=9.

В заключение отметим, что поскольку оценки ошибок исходных данных довольно произвольны (см. [1]), то мы не приводим оценок ошибок полученных коэффициентов разложения и статистических характеристик (хотя в вычислительных программах заложена возможность таких оценок). В какой-то степени мы попытались получить такие оценки, закладывая в программу различные массивы исходных данных для наименее изученной области Земли - для Антарктиды (см. [1], интерполяции по Буге и изостатическая). Основные характеристики поверхности M, на которые влияют данные по Антарктиде, изменились следующим образом: средняя глубина уменьшилась на 0.20 км, центр фигуры сместился на 0.52 км к северу, полярное сжатие уменьшилось на 0.00014. Поскольку данные по Антарктиде охватывают % территории Земли, то отсутствие информации о глубинах Мохо на 15% территории Земли, по-видимому, вносит ошибки того же порядка величины. Что касается статистических характеристик, то их незначительное изменение не меняет сделанных выводов.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант 94-05-16784, и межотраслевой программы "Астрономия", грант 5-205.

1. П.А.Строев, Е.Д.Корякин, А.Н.Грушинский. Глобальное распределение осредненных (5њх5њ) глубин поверхности Мохоровичича на Земле. Труды ГАИШ, том 65, стр 7-32.

2. Н.А. Чуйкова. О преобразованиях ряда Лапласа при поворотах системы координат. Вестник Московского университета, сер.3. Физика. Астрономия, 1983, т. 24, ? 6, 75 - 78.