Разделы

• 6.1 Нормальный потенциал тяжести
• 6.2 Сфероид Клеро
• 6.3 Теорема Стокса
• 6.4 Гравитационный потенциал эллипсоида вращения

Лекция 6. Нормальная Земля

Нормальный потенциал тяжести. Четыре фундаментальных постоянных, определяющих потенциал тяжести. Сфероид Клеро. Теорема Стокса. Гравитационный потенциал эллипсоида вращения. Дифференциальные уравнения, определяющие потенциал притяжения эллипсоида. Условия гидростатического равновесия эллипсоида вращения.

Термин нормальная Земля -- традиционный среди специалистов-геодезистов. Слово нормальная применительно к силе тяжести, высоте и т.п. означает, что данный параметр является предсказуемым. Его можно вычислить по известным формулам. Нормальная Земля -- это тело отсчета для построения карт высот, глубин морей и т.д. Причем, это тело должно описываться достаточно простыми математическими формулами и, кроме того, достаточно хорошо аппроксимировать физическую поверхность планеты.

6.1 Нормальный потенциал тяжести

Общепризнанно, что наиболее удобным геометрическим телом для модели Земли является общеземной эллипсоид (ОЗЭ) -- уровенный эллипсоид вращения. Его гравитационный потенциал (потенциал тяжести!) называют нормальным потенциалам. Условие для выбора параметров нормальной Земли:

1. Центр масс и ось вращения нормальной Земли совпадают соответственно с центром масс и осью вращения реальной Земли.

2. Угловая скорость вращения эллипсоида и реальной Земли совпадают.

3. Масса эллипсоида равна массе Земли.

4. Зональный коэффициент разложения потенциала второй степени реальной Земли равен соответствующему коэффициенту нормальной Земли.

Обозначения параметров нормальной Земли мы будем отмечать верхним или нижним индексом "0".

Итак, потенциал тяжести реальной Земли имеет вид

(6.1)

где -- средний экваториальный радиус Земли. Учитывая, что потенциал эллипсоида вращения содержит только зональные гармоники можно записать

(6.2)

Условие для выбора параметров нормальной Земли:

Эти четыре параметра подлежат уточнению, по мере накопления новых данных. Астрономо-геодезические исследования нуждаются в единой системе фундаментальных постоянных. Такая система обычно устанавливается на крупных международных собраниях ученых. На Генеральной Ассамблее Международного Астрономического Союза (МАС) в 1976 г принято

Несколько позже мы докажем замечательную теорему Стокса, которая утверждает, что, если известна поверхность планеты, являющаяся поверхностью уровня, которая охватывает все массы, известна также планетоцентрическая гравитационная постоянная и угловая скорость вращения , то гравитационное поле может быть однозначно определено во внешнем пространстве. Число параметров, определяющих эллипсоид вращения равно двум (большая и малая полуоси). Следовательно всего нам нужно знать четыре параметра, остальные определяются через геоцентрическую гравитационную постоянную, угловую скорость вращения, большую полуось и сжатие планеты. В формулу (6.2) входят бесчисленное множество параметров. Однако теория показывает, все стоксовы постоянные определяются через уже упомянутые четыре параметра.

Поскольку последовательность для гидростатически равновесных фигур убывает достаточно быстро, часто в формуле (6.2) для нормального потенциала ограничиваются только первым членом суммы. Тогда нормальный потенциал тяжести принимает вид

(6.3)

Отбрасывание малых членов в разложении потенциала приводит к тому, что поверхность где -- постоянная величина, уже перестает, строго говоря, быть эллипсоидом. Такую поверхность, близкую к сфере, называют сфероидом.

Перепишем уравнение сфероида в следующем виде

(6.4)

Введем обозначение . Формула (6.4) теперь принимает вид

Поскольку и -- малые величины, уравнение сфероида можно представить так

(6.5)

следовательно,

Сравнивая полученное выражение с (6.5), получим

(6.6)

Таким образом, сжатие равновесной планеты зависит от стоксовой постоянной и безразмерной угловой скорости вращения , которая имеет простой физический смысл: это отношение центробежной силы на экваторе к величине, достаточно близкой к силе тяжести на экваторе. Такой гидростатически равновесный сфероид носит название сфероида Клеро, по имени французского математика, работавшего над теорией равновесных фигур планет.

Сжатие для сфероида Клеро можно записать и так

При выводе формулы для сжатия планеты мы не пользовались никакими гипотезами о ее строении. Клеро же рассматривал гидростатически равновесную модель, полагая, что массы распределены в виде тонких сфероидальных слоев. Им построена не только зависимость сжатия планеты от ее угловой скорости вращения, но и сжатии внутренних слоев. Показано, что эти сжатия уменьшаются по мере приближения к центру планеты.

Остается определить закон изменения силы тяжести с широтой на сфероиде Клеро также с точностью до сжатия. Из формулы (6.3) следует

Сила тяжести на экваторе

Сила тяжести на полюсе

Отношение иногда называют гравитационное сжатие. Из приведенных выше формул следует

6.2 Сфероид Клеро

Эта теорема устанавливает связь геометрического и гравитационного сжатия с угловой скоростью вращения планеты. Из приведенных формул следует, что

Заметим, что сумма геометрического и гравитационного сжатия в первом приближении не зависит от второго гармонического коэффициента , а зависит лишь от , и .

6.3 Теорема Стокса

Эта теорема доказывает единственность внешней краевой задачи теории потенциала. Другими словами, если некоторое тело равномерно вращается с известной угловой скоростью, его поверхность, являющаяся поверхностью уровня, которая охватывает всю массу, также известна, то потенциал тяжести и его первые производные будут однозначно определены как на поверхности , так и во всем внешнем пространстве.

Теорема доказывается от противного. Предположим, что существует два различных потенциала тяжести и , которые принимают на поверхности постоянные значения и . Таким образом, , , где черта сверху означает, что значения функции относятся к поверхности . Поскольку потенциал тяжести есть сумма потенциала тяготения и центробежного потенциала, то

Обозначим разность . Полученная функция гармоническая, так как потенциал притяжения -- гармоническая функция, удовлетворяющая во внешнем пространстве уравнению Лапласа.

Применим первую формулу Грина (см. лекцию 3, раздел 3.1.2???) для случая, когда и . Выберем, в качестве "тела" по которому нужно выполнить интегрирование -- пространство, лежащее между поверхностью и сферой с очень большим радиусом, так чтобы наша поверхность была целиком внутри сферы. Обозначим это пространство через . Теперь первая формула Грина будет выглядеть следующим образом

(6.7)

Знак минус между интегралами в правой части полученной формулы означает лишь то, что внешняя нормаль для одной поверхности является внутренней для другой поверхности. Рассмотрим последний интеграл. Функция на поверхности -- постоянная величина, равная , поэтому

Рассмотрим теперь второй интеграл в правой части выражения (6.7). Производная по нормали к сфере есть производная по радиус-вектору. Поскольку для очень большого радиуса исходное тело можно считать материальной точкой, то . Аналогично , где -- постоянная величина. Отсюда следует

В левой части равенства (6.7) нужно положить , так как -- функция гармоническая, поэтому это выражение принимает вид

Поскольку подынтегральное выражение не может быть отрицательным ни при каких значениях координат, остается сделать вывод, что -- постоянная величина во всем внешнем пространстве. Но на сфере с бесконечно большим радиусом она равна нулю и в силу непрерывности она равна нулю и на поверхности . Таким образом T(x,y,z)=0 во всем внешнем пространстве, то есть , что и доказывает теорему.

6.4 Гравитационный потенциал эллипсоида вращения

Рассмотрим случай, когда уровенная поверхность есть эллипсоид вращения. Уравнение этой поверхности в декартовых координатах имеет вид

Перейдем к гиперболической системе координат (см. лекцию 2, раздел 2.4)

Как мы видели, уравнение эллипсоида вращения с полуосями , имеет вид . Для определения потенциала притяжения на поверхности уровенного эллипсоида

Итак, нам известен потенциал притяжения на поверхности эллипсоида. Требуется определить его во всем внешнем пространстве. Поскольку потенциал притяжения -- гармоническая функция, она подчиняется дифференциальному уравнению Лапласа, которое можно написать в виде

где -- коэффициенты Ламе. Определим их

(6.8)

Вычислим отношения коэффициентов Ламе, стоящие в дифференциальном уравнении Лапласа

(6.9)

Итак, уравнение Лапласа для функции принимает вид

(6.10)

Полученное дифференциальное уравнение линейно, поэтому будем искать решение в виде суммы гармонических функций. В силу осевой симметрии эллипсоида вращения и того, что граничные условия не зависят от переменной -- аналога долготы, то и решение уравнения не должно содержать этой переменной. Иными словами ищем решение в виде

(6.11)

Как и в случае решения дифференциального уравнения для сферических функций, будем искать решение в виде произведения двух функций, каждая из которых является функцией одной переменной

(6.12)

Подставим решение, заданное в виде (6.12) в уравнение (6.11) и поделим полученное уравнение на :

Полученное уравнение справедливо при любых значениях независимых переменных. Это возможно лишь в том случае, когда обе части этого уравнения равны одной и той же постоянной. Обозначим эту постоянную через . Получим два дифференциальных уравнения

(6.13)

Покажем, что первое из приведенных здесь уравнений при есть уравнение для полиномов Лежандра (см. лекцию 3, уравнения (3.24)-(3.26)), то есть

(6.14)

Положим , , тогда вместо первого из уравнений (6.13) будем иметь

или

(6.15)

Уравнение (6.15) совпадает с уравнением для полиномов Лежандра (см. лекцию 3, формула (3.24))

Итак, решением уравнения Лапласа в гиперболической системе координат будет функция

(6.16)

которая на поверхности эллипсоида принимает значения

(6.17)

При выводе формулы (6.17) мы приняли во внимание, что . Сравнивая левую и правую части формулы (6.17) мы приходим к выводу, что

(6.18)

Итак, в формуле (6.16) для потенциала притяжения эллипсоида отличные от нуля только коэффициенты и , поэтому строгое выражение для потенциала в гиперболических координатах можно записать в виде

(6.19)

Остается определить функции и . Как следует из уравнений (6.13), функцию можно определить, решив второе из названных уравнений при и при    :

(6.20)

Полученным дифференциальным уравнениям удовлетворяют функции

в чем можно убедится простой подстановкой в уравнения (6.20).

Избавимся теперь от гиперболических функций, полученных нами при решении дифференциальных уравнений. Как мы уже говорили, переменная определяет семейство софокусных эллипсоидов. Возьмем некоторую точку на оси вращения эллипсоида, находящуюся на расстоянии от центра. Тогда для этой точки , . Заменим переменную на :

(6.21)

Итак, потенциал притяжения в произвольной точке вне эллипсоида имеет вид

(6.22)

Коэффициенты и определим из краевого условия

Заметим, что , , после соответствующих преобразований получим

(6.23)

Формулы (6.22) и (6.23) определяют потенциал притяжения эллипсоидальным телом материальной точки, лежащей на поверхности софокусного эллипсоида

Зная координаты точки и полуоси эллипсоида и легко определить параметр , а следовательно и малую полуось эллипсоида, проходящего через заданную точку.

Из приведенных формул видно, что потенциал притяжения содержит лишь четыре независимых параметра и . Эти четыре параметра абсолютно строго определяют потенциал притяжения эллипсоидальным телом материальной точки, лежащей во вешнем пространстве, при любом распределении масс внутри тела лишь бы его поверхность оставалась поверхностью уровня.

6.4.1 Связь коэффициентов разложения потенциала притяжения с четырьмя фундаментальными постоянными

Потенциал тела вращения при осевой симметрии распределения масс может быть представлен в виде разложения по зональным гармоникам. Дополнительное предположение о плоскости экватора как о плоскости симметрии приводит к тому, что это разложение будет представлено только четными зональными гармониками:

(6.24)

Четность гармоник, возможно, не очевидна. Но обратимся к здравому смыслу. Если эллипсоид вращения -- симметричное относительно экватора тело, то и массы его должны быть распределены симметрично. В противном случае возникнет "грушевидность", что приведет к тому, что поверхность эллипсоида перестанет быть поверхностью уровня. Более корректные рассуждения проводятся с позиции теории фигур равновесия небесных тел, в которой существование экватора, как плоскости симметрии, доказано вполне строго.

Формула (6.24) содержит бесконечное число параметров, хотя их должно быть только четыре. Отсюда следует, что коэффициенты можно выразить через другие фундаментальные постоянные.

Не будем приводить здесь довольно громоздких выкладок, которые можно найти в книге Л.П.Пеллинена "Высшая геодезия" М., Недра, 1978. Там показано, что

где и соответственно первый и второй эксцентриситеты эллипсоида. Например,

Поскольку величина -- малая порядка сжатия, то коэффициенты для гидростатически равновесного эллипсоида убывают с ростом как степенная функция или . Отклонение от этого закона, которое часто можно наблюдать на практике, говорит прежде всего о неравновесном состоянии планеты.