|
|
Основы математического моделирования
Программа курса
“Основы математического моделирования”
1. Основные понятия и принципы математического моделирования. Основные этапы метода математического моделирования. Прямые и обратные задачи математического моделирования. Универсальность математических моделей. Принцип аналогий.
2. Некоторые классические задачи математической физики. Задача с данными на характеристиках (задача Гурса). Общая задача Коши. Функция Римана. Построение функции Римана в случае уравнения с постоянными коэффициентами. Задача о промерзании (задача о фазовом переходе. Задача Стефана). Метод подобия. Динамика сорбции газа.
3. Математическое моделирование нелинейных объектов и процессов. Математические модели процессов нелинейной теплопроводности и горения. Краевые задачи для квазилинейного уравнения теплопроводности. Автомодельные решения. Режимы с обострением. Математические модели теории нелинейных волн. Метод характеристик. Обобщенное решение. Условие на разрыве. Уравнение Кортевега - де Фриза и законы сохранения. Схема метода обратной задачи. Солитонные решения.
4. Методы исследования математических моделей. Вариационные методы решения краевых задач и определения собственных значений. Принцип Дирихле. Задача о собственных значениях. Метод конечных разностей. Основные понятия. Аппроксимация, устойчивость, сходимость. Разностная задача для уравнения теплопроводности на отрезке Явные и неявные схемы. Метод прогонки, достаточные условия устойчивости. Экономичные разностные схемы. Схема переменных направлений. Консервативные однородные разностные схемы. Интегро-интерполяционный метод (метод баланса). Метод конечных элементов. Асимптотические методы. Метод малого параметра. Регулярные и сингулярные возмущения. Метод ВКБ. Метод усреднения Крылова-Боголюбова.
5. Некоторые новые объекты и методы математического моделирования. Фракталы и фрактальные структуры. Фракталы в математике. Размерность самоподобия. Фракталы в природе. Моделирование дендритов. Самоорганизация и образование структур. Синергетика. Диссипативные структуры. Модель брюсселятора. Вейвлет-анализ.
Основная литература
1. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.: Наука. Физматлит, 1997.
2. Тарасевич Н.Н. Математическое и компьютерное моделирование. Вводный курс. М.: Эдиториал УРСС, 2001.
3. Введение в математическое моделирование. Под редакцией Трусова П.В. М.: Логос, 2004.
4. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Изд-во Моск. унта, 1999.
5. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. М.: Изд-во МГУ; Наука, 2004.
6. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990.
Дополнительная литература
1. Габов С.А. Введение в теорию нелинейных волн. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1992.
2. Ахромеев Т.С, Курдюмов СП., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992.
3. Марчук Г.И.. Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981.
4. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.
|
