Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://lukash.asc.rssi.ru/teaching/arkhipova/cosm_arkh1.pdf Дата изменения: Fri Nov 15 03:06:23 2013 Дата индексирования: Fri Feb 28 04:30:23 2014 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: t tauri

?ГАИШ МГУ?
КОСМОЛОГИЯ

Наталья Архипова

АКЦ ФИАН


Лекция 1: Космологические модели

1. Космологические модели 2. Компоненты Вселенной 3. Полезные формулы


Хаббловский закон

Космология Космологические модели Компоненты Вселенной Полезные формулы

1929, Э. Хаббл.

v = H r, H = H (t ). Скорость удаления галактики определяется по красному смещению z = -0 , интерпретируя его эффектом Допплера. Для малых z: z = = v c


Однородность и изотропность

Космология Космологические модели Компоненты Вселенной Полезные формулы

В большинстве космологических моделей Вселенная предполагается однородной, изотропной, что однозначно связано с наблюдаемым законом Хаббла: v = H L. H = H (t ).

v = v - vA = H L - H LA = H (L - LA ) = H L
Таким образом, закон Хаббла с любой точки пространства выглядит одинаково, что говорит об однородности и изотропоности Вселенной.


Метрика Фридмана

Космология Космологические модели Компоненты Вселенной Полезные формулы

Космологические модели описываются зависимостью масштабного фактора от времени a(t). Масштабный фактор вводится через величину четыр?хмерного интервала: ds 2 = c 2 dt 2 - a2 dx 2 ,

a = a(t ) масштабный фактор Метрика для сферически-симметричных решений: ds 2 = c 2 dt 2 - -a
2

dr 2 + r 2 (d2 + sin2 d2 ) . 1 - kr 2

k кривизна пространства, k = -1, 0, 1. a = 1 в настоящий момент времени.


Масштабный фактор

Космология Космологические модели Компоненты Вселенной Полезные формулы

Параметр a(t) характеризует "размер"Вселенной для данного момента времени t. Он входит в дифференциал расстояния dL между двумя наблюдателями, безразмерные радиальные координаты которых отличаются на dr:

dL = a(t )

dr , 1 - kr 2

при k = 0 L = a(t )r . Относительная скорость двух наблюдателей:

v=

dL a(t ) = a(t )r = L = HL dt a (t )
a a

т.е. выражается законом Хаббла, где H


Определение красного смещения в космологии.

Космология Космологические модели Компоненты Вселенной Полезные формулы

Движение фотона в происходит по геодезической линии, которая определяется уравнением: dr 2 ds 2 = 0 = c 2 dt 2 - a2 (t ) 1-kr 2 . Если фотон излучается в отдал?нной точке re в момент времени te , то он прид?т к наблюдателю, находящемуся в точке r = 0, в момент t0 . Момент t0 определяется из уравнения геодезической:
t0

cdt = a (t )

re


0

te

dr 1 - kr

2

Таким образом, момент времени t0 зависит только от re . Пусть наблюдаемый источник излучает монохроматическую волну и один гребень волны излуч?н в момент te , а следующий (через один период) - в момент te + te ; первый гребень прид?т в точку r = 0 в момент t0 , а следующий - в момент t0 + t0 .


Определение красного смещения в космологии.

Космология Космологические модели Компоненты Вселенной Полезные формулы

И, следовательно:
te +te

cdt = a(t )

t0 +t0

cdt a(t )

te

t0

Если за период волны a(t) не успеет заметно измениться, то: c te c t0 t 0 e a(t0 ) = = = a(te ) a(t0 ) t e 0 a(te ) и изменение частоты фотона составит:

1+z =

0 e a(t0 ) = = e 0 a(te )

В современный момент a(t0 ) = 1 и следовательно z = 1 - 1 - космологическое красное смещение, a 1 a 1+z .


Уравнения Фридмана

Космология Космологические модели Компоненты Вселенной Полезные формулы

Уравнения эволюции физических величин получаются из уравнения Эйнштейна: Gч, = 8 Tч, , где Gч, метрический тензор, отвечающий за геометрию 4-х мерного простраства, Tч, - тензор энергии-импульса, определяющий динамику расширения Вселенной. Первое уравнение Фридмана:

a 8 G k ( )2 = H 2 = - 2 a 3 a Второе уравнение Фридмана: Е a (aH ) 4 = = H 2 + H = - G ( + 3 P ) a a 3 k -H = 4 G ( + P ) - 2 a Из которых следует уравнение сохранения энергии: = -3H ( + P ), где и P - суммарная плотность и давление всех энергетических компонент Вселенной.
или


Критическая плотность

Космология
2

3H Критическая плотность Вселенной cr = 8G определяется при k = 0 из первого уравнения Фридмана. Средняя плотность в единицах кртитической: и cr k из первого уравнения Фридмана: 1 = - (aH )2 Отсюда < 1 при k = -1, = 1 при k = 0, > 1 при k = 1 и определяет динамику закон расширения масштабного фактора: плоская, закрытая и открытая модели Фридмана.

Космологические модели Компоненты Вселенной Полезные формулы


Параметр замедления

Космология Космологические модели Компоненты Вселенной Полезные формулы

Параметр замедления

q -aЕ/(a)2 = /2 a

для плоской модели Вселенной q0 = 1/2 для замкнутой модели Вселенной q0 > 1/2 для открытой модели Вселенной q0 < 1/2


Уравнения состояния

Космология Космологические модели Компоненты Вселенной Полезные формулы

Уравнение состояния также влияет на динамику машстабного фатора. Из уравнения неразрывности при k = 0 длячастных случаев: P = 0 - материально-доминированная Вселенная d da -3 2/3 = -3 a , a , a(t ) t P = 3 - радиационно-доминированная Вселенная d da -4 1/2 = -4 a , a , a(t ) t P = w , w = const - баротропное уравнение состояния d = -3(1 - w ) da , a-3(1+w ) , a 2/3(1+w ) a(t ) t P = -w , 0 < w `1 - вакуумоподобное уравнение состояния d = -3(1 - w ) da , a-3(1-w ) , a (Ht ) a(t ) e Из закона расширения можно определить полную плотность Вселенной и долевой состав компонент с разными уравнениями состояния.


Наблюдательные ограничения парамеров.

Космология Космологические модели Компоненты Вселенной Полезные формулы

Из наблюдений:

= 1.0 полная (Вселенная плоская). m 0.3 пылевидная (P = 0). 0.7 с отталкиванием! (P = - ).

Max Plank Institute


Темная энергия

Космология Космологические модели Компоненты Вселенной Полезные формулы

-член в левой части уравнения Эйнштейна геометрическая конструкция.
vac vac Энергия вакуума Tч, = gч, . Парадокс из теории частиц и наблюдаемой величиной: 120 порядков!

Реликт инфляции: нераспавшаяся часть поля инфлатона. Неизвестное эволюционирующее скалярное поле квинтэссенция. Модифицированные теориии гравитации на больших масштабах.


Темная материя

Космология Космологические модели Компоненты Вселенной Полезные формулы

m 0.3, b 0.04. Указания: кривые вращения галактик нехватка газа в скоплениях гравитационное линзирование Темная материя: холодная и горячая. Минимальная масса (нейтрино) 1 кэВ. Максимальная массы Луны.

Скопление ?Пуля?


Определение расстояний в космологии

Космология Космологические модели Компоненты Вселенной Полезные формулы

1. Метрическое:

lm (t ) = a(t )r
r - лагранжева координата. 2. Болометрическое - по светимости (L светимость, F поток) L lb = . 4 F 3. По угловому размеру источников (d физ.размер, угол) d la = В космологии lb = la !


Расстояния в космологии

Космология Космологические модели Компоненты Вселенной Полезные формулы

Зависимость lb и la от a(t ): 1. Метрическое: lm (t ) = a(t0 )r 2. Болометрическое: lb = a(t0 )r (1 + z ) 3. Угловое: la = a(te )r где a(t0 ) - масштабный фактор на современный момент наблюдения, a(te ) - масштабный фактор на момент излучения. Из чего следует: lb = lm (1 + z ), la = lm /(1 + z ) Для стандартной космологической модели при k = 0 (без вывода):

lm =

c H0

z 0

dz [ + m (1 + z )3 ]1
/2

.


?Лестница? расстояний

Космология Космологические модели Компоненты Вселенной Полезные формулы

1. До 10 кпк параллакс. 2. Цефеиды (звезды с характерной зависимостью L(T )) до 30 Мпк. 3. Мегамазеры (угол) до 250 Мпк. 4. Различные корреляции свойств галактик (светимость) до 300 Мпк. 5. Барионные аккустические осцилляции (угол) до 1000 Мпк (z 0.3). 6. Сверхновые Ia (светимость) до 3000 Мпк (z 1.0). 7. Анизотропия РИ (угол) почти до горизонта (z 1000).


Возраст Вселенной

Космология Космологические модели Компоненты Вселенной Полезные формулы

t (z ) =

1 ћ H0

z

dz (1 + z ) [ + m (1 + z )3 ]1/2

.

Параметр Хаббла:

H (z ) = H

0

+ m (1 + z )3

1/2


Единицы измерения

Космология Космологические модели Компоненты Вселенной Полезные формулы

1 пк 3, 09 ћ см 3, 26 св. лет, 1 Мпк 3, 09 ћ 1024 см.

1018

Размер галактик



1-100 кпк.

Расстояния между галактиками Горизонт Вселенной



1 Мпк.

104

Мпк.

Углы: , = 1/60 , = 1/60 Постоянная Хаббла: H0 = 73 + 3 км/(с Мпк) Критическая плотность:

c =

2 3 H0 4.9 ћ 10-30 г/см 8 G

3


Космологические калькуляторы

Космология Космологические модели Компоненты Вселенной Полезные формулы

1. http://www.astro.ucla.edu/ wright/CosmoCalc.html Этот калькулятор по заданным значениям H, m , на данный момент времени выводит текущий возраст Вселенной, метрическое, болометрическое и угловое расстояние (kpc/arcsec) на заданном красном смещении z. 2. http://lukash.asc.rssi.ru/soft.html Программа для генерации бумажного космологического калькулятора (автор н.с. АКЦ ФИАН Сергей Пилипенко). Калькулятор позволяет пользуясь только листком бумаги найти связь между следующими параметрами: красным смещением, постоянной Хаббла, расстоянием, падением яркости объектов, возрастом Вселенной и угловым размером объектов. Описание калькулятора приводится в статье http://arxiv.org/abs/1303.5961