Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2011/03/zadachi.pdf Дата изменения: Tue Oct 30 15:20:20 2012 Дата индексирования: Sun Feb 3 06:47:19 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п

ЗАДАЧНИК 'КВАНТА'

Задачи по математике и физике
Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач из этого номера следует отправлять по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, 'Квант+'. Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присылайте в разных конвертах. На конверте в графе 'Кому' напишите: 'Задачник 'Кванта' ?32011' и номера задач, решения которых Вы посылаете, например 'М2221' или 'Ф2228'. В графе 'От кого' фамилию и имя просим писать разборчиво. В письмо вложите конверт с написанным на нем Вашим адресом и необходимый набор марок (в этом конверте Вы получите результаты проверки решений). Решения задач по математике и физике можно присылать также по электронным адресам math@kvantjournal.ru и phys@kvantjournal.ru соответственно. Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присылайте в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с Вашим решением этой задачи (на конверте пометьте: 'Задачник 'Кванта', новая задача по физике' или 'Задачник 'Кванта', новая задача по математике'). В начале каждого письма просим указывать номер школы и класс, в котором Вы учитесь. Задача М2224 предлагалась на VII Всероссийской олимпиаде по геометрии имени И.Ф. Шарыгина, задача М2228 на международной олимпиаде Romanian Master of Mathematics.

Задачи М2221М2228, Ф2228Ф2234 M2221. Окружности s1 и s2 пересекаются в точках K, M. Через точку K проведены касательные к s2 и s1 , которые вторично пересекают s1 и s2 в точках A и C соответственно. Прямая AM пересекает вторично s2 в точке B, а прямая CM пересекает вторично s1 в точке D. Докажите, что AB = CD. И. Рудаков M2222. Дан клетчатый прямоугольник 6 ? N ( N 3) , в котором изначально все клетки покрашены синим. За один ход можно покрасить в красный цвет все единичные квадратики некоторого клетчатого квадрата 2 ? 2 , в котором есть хотя бы три синие клетки (в процессе некоторые клетки могут быть покрашены в красный цвет больше одного раза). Какое максимальное количество ходов можно сделать? Фольклор M2223. Решите в целых числах уравнение x 3 + y3 + 6 xy = 8 . В.Кириак M2224. Один треугольник лежит внутри другого. Докажите, что хотя бы одна из двух наименьших сторон (из шести) является стороной внутреннего треугольника. А.Акопян M2225. Найдите все многочлены f ( x ) такие, что для каждого натурального числа n уравнение f ( x ) = n имеет хотя бы один: а) целый корень; б) рациональный корень. П.Кожевников M2226*. Докажите, что количество целочисленных решений неравенства x1 + x2 + ... + xk ? n равно ко-

личеству целочисленных решений неравенства x1 + x2 + ... + xn ? k для любых натуральных n и k. В.Голубев (по мотивам Д.Пойа, Г.Сеге) M2227*. Пусть a, b, c натуральные взаимно простые в совокупности числа и

Dn = НОД a + b + c, a2 + b2 + c2, a n + bn + c

(

n

)

.

а) Докажите, что при любом n, не делящемся на 3, число Dn может быть сколь угодно велико. б) Найдите все возможные значения Dn при каждом n, делящемся на 3. В.Сендеров M2228*. Треугольник ABC вписан в окружность. На дуге AC (не содержащей B) взяты точки A ? и C ? так, что AC A ?C ? . Отрезки BA ? и BC ? пересекают отрезок AC в точках D и E соответственно. Окружности a и c вписаны в криволинейные треугольники ADA ? и CEC ? соответственно. Докажите, что точка пересечения внутренних касательных окружностей a и c лежит на биссектрисе угла ABC. В.Мокин Ф2228. На гладкой безграничной горизонтальной поверхности нарисован квадрат с длиной ребра 2а. Ребра квадрата ориентированы в направлениях северюг и востокзапад. В углы квадрата вертикально вбиты четыре тонких гвоздя, которые выступают над поверхностью. К юго-восточному гвоздю с координатами относительно центра квадрата ( -1a на север; +1a на восток) прикреплена тонкая невесомая нерастяжимая нить длиной 100а, которая выдерживает максимальную силу растяжения F. Нить выпрямлена и вытянута в направлении от места крепления на восток. К свободному концу нити прикреплена шайба малых размеров


массой m. Шайбе придали толчком скорость v в направлении на север. Какими будут координаты шайбы через время t после толчка? Числовые значения параметров: m = 1 кг, a = 1 см, F = 1,18 Н, t = 20 с, v = 1 м/с. При решении задачи рекомендуется пользоваться компьютером. С.Дмитриев Ф2229. Вокруг Земли летают с выключенными двигателями два спутника. Периоды обращения этих спутников одинаковы и составляют 12 часов. На какое максимальное расстояние могут удаляться друг от друга эти два спутника? Для справки: периоды обращения вокруг Земли всех спутников, летающих на 'низких' орбитах, равны примерно 1,5 часа. А.Полетаев Ф2230. Фиксированная масса идеального газа участвовала в процессе, который в координатах p - V выглядит почти окружностью (см. рисунок). В точках 1 и 5 этой почти окружности касаются изобары, в точках 2 и 6 изотермы, в точках 3 и 7 адиабаты и в точках 4 и 8 изохоры. На разных участках цикла газ обменивался теплом с окружающей средой. Известны абсолютные величины количеств теплоты: Q12 = 7Дж , 323 = 2Дж , Q34 = 4 Дж , Q45 = 11 Дж , Q56 = 5 Дж , Q67 = 1Дж , Q78 = 3Дж и Q81 = 12 Дж . Найдите КПД цикла. С.Крюков Ф2231. В тройной точке воды при температуре 273,16 К и