Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2011/02/zadachi.pdf Дата изменения: Tue Oct 30 14:54:40 2012 Дата индексирования: Sun Feb 3 06:47:16 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 5

ЗАДАЧНИК 'КВАНТА'

Задачи по математике и физике
Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач из этого номера следует отправлять по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, 'Квант'. Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присылайте в разных конвертах. На конверте в графе 'Кому' напишите: 'Задачник 'Кванта' ?22011' и номера задач, решения которых Вы посылаете, например 'М2214' или 'Ф2220'. В графе 'От кого' фамилию и имя просим писать разборчиво. В письмо вложите конверт с написанным на нем Вашим адресом и необходимый набор марок (в этом конверте Вы получите результаты проверки решений). Решения задач по математике и физике можно присылать также по электронным адресам math@kvantjournal.ru и phys@kvantjournal.ru соответственно. Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присылайте в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с Вашим решением этой задачи (на конверте пометьте: 'Задачник 'Кванта', новая задача по физике' или 'Задачник 'Кванта', новая задача по математике'). В начале каждого письма просим указывать номер школы и класс, в котором Вы учитесь. Задачи М2214, М2215а, М2218 предлагались на региональном этапе XXXVII Всероссийской олимпиады школьников по математике.

Задачи М2214М2220, Ф2220Ф2227 M2214. На доске что сумма любых ется выписанным ство нулей может выписаны N 4 чисел. Оказалось, трех выписанных чисел также являчислом. Какое наименьшее количебыть среди этих чисел? И.Богданов

Пусть C и D точки пересечения окружностей 1 и 2 (C и D лежат внутри ). Прямая CD пересекает в точках E и F. Докажите, что касательные к , проведенные в точках E и F, пересекаются на прямой AB. Фольклор M2220. Скандалист и n нормальных зрителей купили билеты в театр. Билеты на s мест оказались нераспроданы. Скандалист, растолкав всех, первым вошел в зал и сел на случайно выбранное им место, не поинтересовавшись номером своего места. После этого остальные зрители действовали по следующим правилам: если указанное в билете место свободно, то зритель садится на свое место; если место занято, то зритель садится на любое еще не занятое место. Какова вероятность того, что последний вошедший в зал зритель сядет не на свое место? М.Гервер Ф2220. Во время ремонтных работ на МКС космонавт, находясь снаружи, пользовался молотком. После одного неудачного удара головная часть молотка отломилась и улетела со скоростью 20 м/с относительно станции (эта скорость перпендикулярна плоскости орбиты станции). Оказалось, что сразу после этого удара и МКС и 'новый спутник' имели относительно Земли строго одинаковые по величине скорости порядка 8 км/с, которые были горизонтальными для наблюдателя на Земле, над головой которого произошло описываемое происшествие. На какое максимальное расстояние удалятся друг от друга МКС и 'новый спутник' за первые полчаса его самостоятельного полета? Л.Мотков Ф2221. В далеком космосе оказался школьный динамометр, корпус которого имеет массу M = 20 г, а пружина

M2215. а) Найдите все тройки простых чисел p, q, r такие, что четвертая степень любого из них, уменьшенная на 1, делится на произведение двух остальных. б) Существует ли четверка простых чисел p, q, r, s такая, что шестая степень любого из них, уменьшенная на 1, делится на произведение трех остальных? В.Сендеров M2216. На сторонах A1 A2, A2 A3, An A1 выпуклого многоугольника A1 A2 ... An взяты точки B1, B2, ..., Bn соответственно. Докажите, что круги, описанные вокруг треугольников Bn A1B1 , B1 A2 B2 , B2 A3 B3 , , Bn -1 An Bn , покрывают весь многоугольник. П.Кожевников, Н.Седракян M2217. Найдите все наборы из n 2 чисел a1, a2, ..., an , удовлетворяющие равенствам
a1 - a2 = 2 a2 - a3 = 3 a3 - a4 = ... = n an - a1 .

По мотивам Румынской олимпиады M2218. Прямую палку длиной 2M сантиметров распилили на N палочек, длина каждой из которых выражается целым числом сантиметров. При каком наименьшем N можно гарантировать, что, использовав все получившиеся палочки, можно, не ломая их, сложить контур некоторого прямоугольника? А.Магазинов M2219. Две неравные окружности 1 и 2 касаются внутренним образом окружности в точках A и B.

27-39.p65

27

30.10.12, 14:27


имеет массу m = 10 г. За крючок, укрепленный на корпусе, тянут с силой F = 5 Н, направленной вдоль 1 оси пружины, а за крючок, находящийся на свободном конце пружины, тянут с силой F2 = 2 Н, направленной в противоположную сторону. Что будет показывать динамометр, т.е. напротив какого деления на его шкале остановится индикаторная стрелка? В.Сергеев Ф2222. На наклонной плоской поверхности, составляющей угол = 60 с горизонтом, находится небольшая плоская шайба массой m = 0,5 кг, прикрепленная легкой нитью длиной L = 1 м к точке на этой поверхности. Шайбу толкают вдоль поверхности так, что нить оказывается натянутой и скорость шайбы перпендикулярна нити. В некоторый момент шайба имеет горизонтальную скорость v = 2 м/с. Каково по величине ускорение шайбы в этот момент? Каким может быть натяжение нити в этот момент? Коэффициент трения шайбы о поверхность ч = 0,6. Ускорение свободного падения g = 10 м с2 . С.Дмитриев Ф2223. Парафиновые свечи имеют цилиндрическую форму с площадью поперечного сечения S = 1 см2 и длиной L = 20 см. Если свеча горит в подсвечнике, то время ее горения равно T = 3 ч. На одном конце такой свечи поджигают фитиль, а к другому концу прикрепляют стальной шарик диаметром D = 7 мм. Свечу опускают в воду при температуре 4 C , и она некоторое время плавает, не касаясь дна сосуда. Сколько времени она будет гореть в этом случае? Плотность парафина п = 0, 9 г см 3 , плотность стали c = = 7, 7 г см 3 , плотность воды в = 1, 0 г см 3 . В.Свечкин Ф2224. Экспериментатор Вася приобрел очень качественный термос (сосуд, который исключает теплообмен содержимого с окружающей средой) емкостью 1 л, теплоемкость стенок которого 100 Дж/К. Начальная температура стенок пустого термоса 20 C (как в комнате). Вася последовательно наливает в термос 1 г воды при температуре 1 C , затем 2 г воды при температуре 2 C , потом 3 г воды при температуре 3 C и так далее вплоть до заполнения термоса. Какой будет установившаяся температура содержимого термоса? Э.Васин Ф2225. Легкое кольцо из тонкой проволоки висит на мыльной пленке, которая удерживается рамкой в форме окружности. Масса кольца m, его радиус R, коэффициент поверхностного натяжения пленки , диаметр рамки D > 2R. Рамка и кольцо горизонтальны, их центры находятся на одной вертикали. Каково расстояние от плоскости кольца до плоскости рамки? Массой пленки можно пренебречь в сравнении с массой кольца. Выполняется условие 'легкости' кольца: mg R . С.Кольцов Ф2226. Маленький шарик и тонкий непроводящий стержень большой длины L, массы которых M одина-

ковы, подвешены к потолку на нитях одной и той же и очень большой длины R ( R L ). Нити позволяют шарику и стержню двигаться только в одной вертикальной плоскости. Сначала шарик и стержень не были заряжены и висели так, что почти соприкасались друг с другом, причем шарик находился возле одного из концов стержня (см. рисунок). Шарику и стержню сообщили одинаковые электрические заряды Q, причем заряд на стержне распределили равномерно по его длине. На каком расстоянии x окажутся в положении равновесия шарик и тот конец стержня, возле которого шарик находился вначале? Считайте, что диаметр шарика много меньше x, а x много меньше длины стержня L. Д.Шариков Ф2227. Связь между эффективным напряжением U на лампе накаливания и током I, текущим через нее, дается формулой I U 3 5 . Две лампы с номинальными напряжениями 220 В и номинальными мощностями 40 Вт и 100 Вт включили последовательно в сеть напряжением 220 В. Каково падение напряжения на лампе меньшей номинальной мощности? (Разрешается пользоваться калькулятором.) С.Варламов Решения задач М2191М2198 M2191. Дано натуральное n > 1. Докажите, что найдутся такие n последовательных натуральных чисел, что их произведение делится на все простые числа, не превосходящие 2n + 1, и не делится ни на одно другое простое число. Предположим, что число n + 1 составное; покажем, что тогда подходят числа n + 2, , 2n + 1. Очевидно, их произведение делится на все простые числа из отрезка [n + 2; 2n + 1], но не делится на простые числа, большие 2n + 1 (ибо все сомножители не превосходят 2n + 1). Для любого же простого p n одно из p последовательных чисел делится на p; значит, и одно из наших n чисел также делится на p. Если теперь число n + 1 > 2 простое, то оно нечетно, а число n + 2 > 2 четно и потому составное. В этом случае подходят числа n + 3, , 2n + 2. Действительно, по аналогичным причинам их произведение P делится на все простые числа из отрезков [1; n] и [n + 3; 2n + 2], но не делится на простые числа, большие 2n + 1 (поскольку число 2n + 2 составное). Кроме того, P 2n + 2 делится на n + 1 = . 2 И.Богданов M2192. Внутри треугольника АВС взята точка K, лежащая на биссектрисе угла ВАС. Прямая CK вторично пересекает окружность , описанную около треугольника АВС, в точке М. Окружность проходит через точку А, касается прямой СМ в точке K и пересекает вторично отрезок АВ в точке

27-39.p65

28

30.10.12, 14:27


ЗАДАЧНИК

'КВАНТА'

Р, а окружность в точке Q. Докажите, что точки Р, Q и М лежат на одной прямой. Из касания вытекает равенство APK = = AKC . Пусть прямая MP пересекает вторично окружность в точке Q (см. рисунок). Тогда имеем
AQP = AQM = ACM = 180њ-AKC - KAC =

= 180њ-APK - PAK = AKP . Значит, точки A, P, K и Q лежат на одной окружности, эта окружность совпадает с , и, следовательно, Q совпадает с Q. Л.Емельянов M2193. В каждой клетке квадрата 100 Ч 100 записано некоторое натуральное число. Прямоугольник, стороны которого идут по линиям сетки, назовем хорошим, если сумма чисел во всех его клетках делится на 17. Разрешается одновременно закрашивать все клетки в некотором хорошем прямоугольнике. Одну клетку запрещается закрашивать дважды. При каком наибольшем d можно закрасить хотя бы d клеток при любом расположении чисел? Ответ. 9744 = 1002 - 162 . Лемма. Пусть полоска 1 Ч k заполнена натуральными числами. Тогда в ней можно закрасить несколько непересекающихся хороших прямоугольников, содержащих не меньше k 16 клеток. Доказательство. Индукция по k. При k 16 ничего красить не надо. Пусть k 17 . Пусть в 17 левых клетках стоят числа a1, ..., a17 . Среди чисел 0, a1, a1 + a2, ..., a1 + ... + a17 найдутся два, дающие одинаковый остаток от деления на 17. Тогда их разность, имеющая вид ai + ai+1 + ... + a j , будет делиться на 17. Удалим клетки с i-й по j-ю из полоски. Оставшиеся клетки будем считать одной полоской длины k - ( j - i + 1) . Применив к ней предположение индукции, мы закрасим несколько хороших прямоугольников так, что останется не более 16 незакрашенных клеток. Тогда в исходной полоске можно закрасить те же клетки, а также клетки с i-й по j-ю (они либо образуют новый хороший прямоугольник, либо попадут внутрь старого). Лемма доказана. Перейдем к задаче. Покажем, что можно оставить не более 162 = 256 незакрашенных клеток. Рассмотрим полоску 1 Ч 100 , в клетки которой записаны суммы чисел в столбцах исходного квадрата. Применив к ней утверждение леммы, мы найдем несколько хороших прямоугольников. Тогда в исходном квадрате можно закрасить соответствующие прямоугольники высоты 100. После этого незакрашенными останутся не более

16 столбцов. Применим теперь лемму к каждому из них по отдельности; в каждом столбце останется не более 16 незакрашенных клеток, т.е. всего не более 256 клеток. Осталось привести пример расстановки, в которой нельзя оставить менее 256 клеток незакрашенными. Расставим в каком-нибудь квадрате 16 Ч 16 единицы, а во всех остальных клетках нули. Рассмотрим произвольный прямоугольник P; если он содержит единицу, то он пересекается с квадратом по некоторому прямоугольнику a Ч b ( 1 a, b 16 ); но тогда сумма всех чисел в P будет равна ab, что не может быть кратным 17. Таким образом, ни одна клетка с единицей закрашена не будет, а значит, останется хотя бы 256 незакрашенных клеток. П.Зусманович, Ф.Петров M2194. В буфете лежат 100 яблок суммарной массой 10 кг, каждое массой не меньше 25 г. Буфетчице нужно разрезать их на части и раздать 100 детям, каждому по 100 г. Докажите, что она может это сделать так, чтобы масса любого куска яблока была не меньше 25 г. Все массы в решении будем измерять в граммах. Назовем кусок яблока (или само яблоко) большим, если его масса не меньше 25. Докажем индукцией по n, что n больших яблок суммарной массы 100n можно разрезать на большие куски и раздать n детям поровну. База при n = 1 очевидна. Пусть n > 1. Рассмотрим два самых тяжелых яблока; пусть их массы a b . Заметим, что a + b 200 (иначе средняя масса одного яблока будет меньше чем 200 2 = 100 ). Выкинем эти два яблока из набора и добавим в него яблоко массы c = a + b - 100 100 . По предположению индукции, полученный набор можно разрезать на большие куски и раздать n - 1 детям поровну. Если при этом какой-то кусок нового яблока оказался больше 50, разрежем его на два больших куска. Через несколько таких разрезаний мы придем к ситуации, когда новое яблоко разделено на куски массами c1, c2, ..., ck , не превосходящими 50. Обозначим sd = c1 + ... + cd при d = 1, 2, , k и положим s0 = 0 . Покажем теперь, как разрезать исходный набор. Все яблоки, кроме a и b, разрежем так же, как и в новом наборе. Заметим, что a 200 2 = 100 . Обозначим через t минимальный индекс такой, что a - st 75 , и отрежем от a куски c1, ..., ct , а от b куски ct +1, ..., ck . Заметим, что a - st -1 > 75 , поэтому от a остался кусок a = a - st = (a - st -1 ) - ct такой, что 75 a > 75 - ct 25 . От b же остался кусок b такой, что a + b = = a + b - c = 100 , поэтому 25 b 75 . Итак, можно a и b отдать одному ребенку, а остальные куски распределить между остальными детьми так же, как это делалось в новом наборе. Утверждение доказано. Замечание. В доказанном общем утверждении число 25 нельзя заменить на большее, не зависящее от n. К.Кноп, И.Богданов M2195. Даны n 3 попарно взаимно простых чисел. Известно, что при делении произведения любых n - 1

27-39.p65

29

30.10.12, 14:27


из них на оставшееся число получается один и тот же остаток r. Докажите, что r n - 2 . Если r = 0, то утверждение задачи, очевидно, истинно. Пусть r > 0. Пусть a1, ..., an данные числа; положим P = a1a2 ... an , Pi = P ai при i = 1, 2, , n. Заметим, что ai > r , ибо число Pi дает остаток r при делении на ai . Рассмотрим число S = P + P2 + ... + Pn - r . Заметим, 1 что S = ( P - r ) + ( P2 + P3 + ... + Pn ) a1 , поскольку оба 1 слагаемых делятся на a1 . Аналогично, S ai при всех i = 1, , n; так как ai попарно взаимно просты, получаем, что S делится на a1 ... an = P . Поскольку S > a1 - r > 0 , получаем, что S P , а тогда P + ... + Pn = S + r > P . Значит, при некотором i верно 1 неравенство Pi > P n , откуда ai < n , или ai n - 1 . Но тогда r < ai n - 1 , т.е. r n - 2 . В.Сендеров M2196. Могут ли 4 центра вписанных в грани тетраэдра окружностей лежать в одной плоскости? Ответ. Не могут. Пусть IA , IB , IC , ID центры вписанных окружностей треугольников BCD, ACD, ABD, ABC соответственно. Предположим, что они лежат в одной плоскости. Тогда либо они образуют выпуклый четырехугольник, либо одна из этих точек лежит в треугольнике, образованном тремя другими. Случай 1. Пусть без ограничения общности IA IB IC ID выпуклый четырехугольник, тогда отрезки IA IC и IB ID пересекаются. Обозначим через M, N, K, L середины ребер AB, AD, CD, BC соответственно (рис.1). Рассмотрим треугольник ABC (рис.2). Проведем через точку B прямую l, параллельную AC; Рис. 1 тогда вписанная окружность этого треугольника лежит между прямыми l и AC, касаясь AC, но не касаясь l. Это значит, что точки

IB , IC , ID лежат строго по одну сторону от плоскости BCD, а точка IA в этой плоскости. И.Богданов, О.Подлипский

M2197. Многочлен P ( x ) вещественных корней x2 - x1 < x3 - x2 < ... < xn - симум функции y = P ( x )

гается в точке, принадлежащей отрезку [xn -1; xn ] .

степени n 3 имеет n x1 < x2 < ... < xn , причем xn -1 . Докажите, что макна отрезке [x1; xn ] дости-

Заметим, что максимум функции P ( x ) не может достигаться в точке xi , ибо P ( xi ) = 0 . Рассмотрим произвольную точку a ( xi; xi+1 ) при i < n - 1 ; положим t = a - xi , b = xn - t . Заметим, что b ( xn -1; xn ) , поскольку
xn > b > xn - ( xi
+1

- xi ) > xn - ( xn - xn

-1

)

= xn -1 .

Покажем, что P (b ) > P (a ) ; из этого, очевидно, следует утверждение задачи. Из условия следует, что xk + m - xk < xl + m - xl при 1 k < l n - m . Поскольку нам известны n корней многочлена P ( x ) , имеем P ( x ) = p ( x - x1 )... ( x - xn ) , где p старший коэффициент многочлена P ( x ) . Заметим, что
b - xs = xn - xs - t > xi
+n- s

- xi - t = xi

+n- s

-a

при i + 1 s n - 1 . Кроме того,

b - xr = b - xr > xn

-1

- xr > a - xr = a - xr

при 1 r i - 1 . Перемножая все полученные неравенства с равенством
p b - xn b - xi = pt ( xn - xi - t ) = p a - xi a - xn ,

получаем
P (b ) = p b - x1 b - x2 ... b - xn > > p a - x1 a - x2 ... a - xn = P (a ) ,

что и требовалось доказать.
*

И.Богданов

Рис. 2

M2198 . Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром О, а его диагонали пересекаются в точке K. Точки M1 , M2 , M3 , M4 середины дуг АВ, ВС, CD, DA (не содержащих других вершин четырехугольника) соответственно. Точки I1 , I2 , I3 , I4 центры окружностей, вписанных в четырехугольники ABK, BCK, CDK, DAK соответственно. а) Докажите, что прямые M1I1 , M2 I2 , M3 I3 , M4 I4 пересекаются в одной точке. б) Докажите, что точка пересечения прямых из пункта а) лежит на прямой ОK. Заметим, что точка I1 лежит на биссектрисах AM2 и BM4 углов BAC и ABD, поэтому I1 = AM2 BM4 (рис.1). Аналогично, I2 = BM3 CM1 , I3 = CM4

ID и B лежат по разные стороны от средней линии ML. Аналогично получаем, что точки IB и ID окажутся по одну сторону от плоскости MNKL, а точки IA и IC по другую. Но тогда отрезки IB ID и IA IC не могут пересекаться противоречие. Случай 2. Покажем, что точка IA не может лежать в треугольнике IB IC ID . Это следует из того, что точки

DM2 , I4 = DM1 AM3 . Поскольку AM1 + CM3 =
= BM1 + DM3 , прямая M1M3 составляет равные углы с хордами AC и BD; следовательно, прямая M1M3






27-39.p65

30

30.10.12, 14:27


ЗАДАЧНИК

'КВАНТА'

Рис. 1

параллельна биссектрисе угла AKB, т.е. прямой I1I3 . Аналогично, M2 M4 I2 I4 I1I3 (поскольку внешняя и внутренняя биссектрисы угла перпендикулярны). а) Если прямые I1I3 и M1M3 , а также I2 I4 и M2 M4 совпадают, утверждение задачи очевидно. Пусть, скажем, точка I1 не лежит на прямой M1M3 . Обозначим A = DM1 BM4 , B = AM2 CM1 , C = BM3 DM2 , D = AM3 CM4 . 1 Имеем BM1M2 = CM1M2 и BM2 M1 = AM2 M1 , поэтому треугольники M1M2 B и M1M2 B симметричны относительно прямой M1M2 . Отсюда M2 B = M2 B . Аналогично, M2C = M2C , и из M2 B = M2C получаем M2 B = M2C . Поскольку AM2 M4 = DM2 M4 , прямая M2 M4 является биссектрисой (и, значит, высотой) равнобедренного треу гольника M2 BC . Поэтому, BC M2 M4 , откуда BC M1M3 I1I3 . Пусть прямая M2 I2 пересекает отрезки BC , I1I3 и M1M3 в точках X, Y, Z соответственно (рис.2). Рассматривая гомотетии с центрами I2 и M2 , полуM1Z BX I1Y = = . чаем M3 Z CX I3Y Пусть P = M1I1 M3 I3 . Если прямая PY пересекает M1M3 в точке Z , то из гомотетии с центром P M1Z I1Y = получаем . M3 Z I3Y Значит, Z совпадает с Z. Получаем, что точка P лежит на прямой M2 I2 . Аналогично, P лежит на прямой M4 I4 , т.е. все четыре прямые M1I1 , M2 I2 , M3 I3 , M4 I4 пересекаются в точке P.2 б) Пусть биссектриса I1I3 угла AKB пересекает вторично описанную окружность треугольника AKB в точке N1 (рис.3). Аналогично, пусть I1I3 пересекает вторич1 Точки A, B, C, D являются центрами окружностей, вписанных в треугольники ABD, BAC, CBD, DAC соответственно. 2 Здесь по сути работает теорема о трех гомотетиях (для гомотетий, переводящих отрезки BC , M1M3 , I1I3 друг в друга).

Рис. 3

но описанную окружность треугольника CKD в точке N3 . Из подобия AKB DKC следует равенство отношений соответствующих отрезков, в частности KI1 KN1 = . Далее, точки M1 и N1 равноудалены от KI3 KN3 A и B, значит, M1N1 серединный перпендикуляр к отрезку AB, и O лежит на M1N1 . Аналогично, O лежит на M3 N3 . В случае, если прямая OK совпадает с M1M3 , задача очевидна. Иначе, пусть T = OK M1M3 . Из гомотетии с центром O (вспомним, что TM1 KN1 = M1M3 N1N3 ) следует, что . Пусть TM3 KN3 PT I1I3 = K . Из гомотетии с центром P следует, что KI1 KI1 TM1 KI1 = = . В результате получаем, что , KI3 KI3 TM3 KI3 и, значит, K = K , т.е. O, P, K лежат на одной прямой, что и требовалось доказать. Замечание. Из решения пункта б) вытекает следующий факт: прямая OK делит отрезок M1M3 в отношении, равном коэффициенту подобия треугольников AKB и DKC. И.Богданов, П.Кожевников

Рис. 2

Информацию о журнале 'Квант +' и некоторые материалы из журнала можно найти в ИНТЕРНЕТЕ по адресам: Редакция журнала 'Квант +' kvantjournal. ru Московский центр непрерывного математического образования kvant.mccme.ru Московский детский клуб 'Компьютер' math.child.ru Костромской центр дополнительного образования 'Эврика' ceemat.ru

27-39.p65

31

30.10.12, 14:27