Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2011/02/varlamov.pdf Дата изменения: Tue Oct 30 14:54:32 2012 Дата индексирования: Sun Feb 3 06:47:28 2013 Кодировка: Windows-1251

Задача про 'Монгольфьер'
С.ВАРЛАМОВ
духе и назвал его 'Монгольфьер'. Но прежде он проводит дома испытания уменьшенной модели такого шара, склеенной из папиросной бумаги с поверхностной плотностью 0, 04 кг м2 . Модель имеет объем 1 м 3 и массу оболочки m = 0,19 кг. Шар подвешивается к потолку на нитке. Для заполнения шара горячим воздухом дядя Федор использует горючее вещество из папиной коллекции этиловый спирт ( C2H5OH ) с удельной теплотой сгорания в воздухе = 2, 7 107 Дж кг . Пренебрегая теплоемкостью оболочки и потерями тепла через стенки шара, он оценивает минимальное количество этилового спирта, которое необходимо сжечь, чтобы шар перестал натягивать нитку, на которой висит. Считается, что давление атмосферного воздуха p = 105 Па , его температура t0 = +20 C . Схему химической реакции горения этилового спирта в воздухе можно представить в виде такого уравнения:
C2H2OH + 3O2 + 12 N 2 = 2 CO2 + 3H2O + 12 N 2 + Q ,

Д

ЯДЯ ФЕДОР РЕШИЛ СДЕЛАТЬ ШАР ДЛЯ ПОЛЕТОВ В ВОЗ-

кой реакции он не участвует (азот составляет примерно 80% состава воздуха, а кислород только около 20%). В процессе полного сгорания спирта из каждых трех молекул кислорода (слева от знака равенства) образуются пять молекул продуктов сгорания (справа от знака равенства). До реакции в газообразном состоянии находилось пятнадцать молекул, а после реакции их стало семнадцать. Будем считать, что тепловая энергия выделилась в воздухе, который состоит только из двухатомных молекул и имеет среднюю молярную массу М = 0,029 кг/моль. Плотность материала оболочки шара значительно больше плотности окружающего шар воздуха, которая равна 0 = p ( RT0 ) ? 1, 2 кг м 3 . Чтобы шар перестал натягивать нитку, плотность нагревшегося воздуха вместе с продуктами сгорания спирта внутри шара и объем V этой нагретой части воздуха должны соответствовать неравенству

(

0 - ) V m .

При этом температура воздуха внутри шара должна стать равной T = T0 0 . Масса нагревшегося воздуха равна V , и нагрелся этот воздух на T = T0 (0 - ) в процессе с постоянным давлением, т.е. с молярной теплоемкостью Cp . Следовательно, минимальное необходимое количество теплоты равно
Q = Cp CpmT0 V T = .

где Q количество теплоты, выделившееся при сгорании спирта. В написанном уравнении присутствует азот (в правильном соотношении к кислороду), хотя в самой химичес-

Для воздуха Cp = 7R 2 . Отсюда минимальное количество спирта, которое нужно сжечь, составляет
mсп = Q 7RmT0 = = 7 8, 31 0,19 293 кг ? 2 10 2 2 29 10 -3 2, 7 107
-3

кг .

Получается, что минимальное количество спирта пропорционально произведению температуры окружающего воздуха и массы груза, который нужно поднять. Это количество не зависит от того, какая часть воздуха внутри шара прогрелась, лишь бы не было тепловых потерь наружу. Теперь время задать главный вопрос: а хватит ли запасов папиной коллекции приблизительно 0,8 л спирта, чтобы оторвать от земли дядю Федора, если его масса 50 кг, а суммарная масса оболочки и корзины спроектированного им полномасштабного шара 'Монгольфьер' равна массе мальчика, т.е. общая поднимаемая масса составляет М = 100 кг? Для отрыва от земли дяди Федора вместе с корзиной и оболочкой шара 'Монгольфьер' потребуется в М/m раз больше топлива, т.е. 1,1 кг спирта, а в папиной коллекции всего около 0,8 кг. Вывод: запасов в папиной коллекции не хватит. Но у дяди Федора есть коварная (для папы) мысль: провести эксперимент зимой, тогда температура T0 будет меньше, и топлива тоже потребуется меньше! Заметим, что в наших расчетах мы с дядей Федором не рассматривали нагрев оболочки и тепловые потери через оболочку. Для анализа этих явлений и учета их влияния на результат эксперимента можно воспользоваться подсказками. Они есть, например, в статье 'Путешествие на воздушном шаре', опубликованной в третьем номере 'Кванта' за 2004 год.