Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2011/01/stasenko.pdf Дата изменения: Wed Nov 21 16:11:52 2012 Дата индексирования: Sun Feb 3 06:47:27 2013 Кодировка: Windows-1251

Электростатика со льдом
А.СТАСЕНКО

'

(стоящего от вас на расстоянии вытянутой руки) электронов оказалось бы всего на 1% больше, чем протонов, то силы отталкивания хватило бы, чтобы поднять 'вес', равный весу нашей Земли!' ('Фейнмановские лекции по физике'). А возможно ли такое? И тут Отличник вспомнил недавние 'ледяные дожди', изломавшие тысячи деревьев в России и порвавшие километры электропроводов. Он знал также о том, что в одной только Америке в результате обледенения небольших самолетов ежегодно погибают десятки человек, а материальный ущерб составляет почти миллиард долларов. И ему пришла в голову светлая мысль: если холодные облачные капли, ударяющиеся о поверхность самолета, электрически заряжены, то, образуя ледяную корку (что очень плохо), они могли бы одновременно и разрушать ее (что было бы хорошо). И Отличник начал рассуждать. Представим себе тонкую диэлектрическую пленку площадью S, на которой равномерно 'размазан' электрический заряд q, так что поверхностная плотность заряда равна = q S . Будем считать, например, что этот заряд отрицательный: кто-то 'напылил' электроны на поверхность пленки. Тогда напряженность электрического поля будет направлена так, как изображено на рисунке 1,а, а значение поля E = + (20 ) представлено на графике на рисунке 1,б. Видно, что все векторы E направлены нормально к пленке, а величина Е при пересечении пленки в направлении оси х претерпевает скачок, направленный вниз и равный - 0 . Как тут не вспомнить плоский конденсатор! Действительно, если мы поднесем к нашей отрицательно заряженной пленке такую же, но положительно заряженную пленку с такой же по модулю поверхностной плотностью заряда (рис.1,в,г), то поле между этими плоскостями (h/2 < x <
ЕСЛИ БЫ В ВАШЕМ ТЕЛЕ ИЛИ В ТЕЛЕ ВАШЕГО СОСЕДА

F 2 E2 = =0 . (1) S 20 2 С другой стороны, эту величину можно рассматривать и как объемную плотность энергии электрического поля достаточно убедиться в том, что эти физические понятия имеют одну и ту же размерность: [F ] [S ] = H м2 = Дж м 3 . Уместно вспомнить, что понятие поля и его физических атрибутов ввел Майкл Фарадей в первой половине девятнадцатого века. Идея поля считается самым важным открытием со времен Ньютона. 'Надо иметь могучий дар научного предвидения, писал А. Эйнштейн, чтобы распознать, что в описании электрических явлений не заряды и не частицы описывают суть явлений, а скорее пространство между зарядами и частицами'. Но вернемся к нашей равномерно заряженной пленке. Представим теперь (рис.2), что пленка вовсе не бесконечно тонкая (да такую и негде достать), а имеет толщину h, а тот же самый заряд q 'размазан' равномерно уже по ее объему Sh так, что объемная плотность заряда стала равной = q ( Sh ) = h . Понятно, что вне этой 'тонкой пленки', которую можно теперь назвать слоем толщиной h, направление и величина электрического поля не изменяется (см. также Рис. 2 рис.1,б). А внутри? Разумно предположить, что поле внутри слоя будет изменяться непрерывно между его значениями на поверхности слоя, причем линейно ну хотя бы потому, что в средней плоскости (х = 0) значение напряженности должно обратиться в ноль (по соображениям симметрии). Поднесем теперь (рис.3,а) к этому слою справа металлический цилиндр с плоским торцом, и пусть радиус этого p=

давление:

Рис. 3 Рис. 1

каждую из этих двух плоскостей, несущих заряды +S и находящихся в поле другой плоскости с напряженностью + (20 ) , действует сила притяжения величиной
F = S (2
0

)

, которую можно трактовать и как внешнее

цилиндра много больше толщины слоя, так что поверхность этого цилиндра 'бесконечно далека' от рассматриваемой картины с характерным размером h, помещающейся на наших рисунках. Да, но ведь внутри металла электрическое поле равно нулю (иначе в металле побежал бы электрический ток). А это означает, что на поверхности торца должен возникнуть распределенный положительный заряд с плот-


ШКОЛА

В

'КВАНТЕ'

ностью, в точности равной (по модулю). Электрическое поле от этого распределенного заряда аналогично первоначальному (см. рис.2), только противоположно по знаку (оно отдельно изображено на рис.1,в,г), так что вне слоя суммарная напряженность поля станет равной нулю (рис.3,б). Но при чем тут лед, обещанный выше? А при том, что пора учесть, что наши первоначальные заряды с объемной плотностью = h должны быть вморожены в диэлектрик, т.е. в среду, не обладающую свойством электропроводности, а ведь мы до сих пор считали, что они 'развешены' кем-то в вакууме. Но если слой обладает диэлектрической проницаемостью , то напряженность электрического поля Ei в нем должна быть уменьшена в раз (см. рис.3,б, пунктир): Ei = E (тут индекс i происходит, если хотите, от inner внутреннее или, если хотите, от ice лед). Видно, что наибольшее значение этого поля равно h Emax = = . (2) 0 0 Какую пользу можно извлечь из наших рассуждений? А вот какую: можно оценить внутренние силы, действующие в слое льда. Действительно, если полю в вакууме между двумя заряженными плоскостями мы приписали свойство оказывать давление, то почему бы и в случае с заряженным диэлектриком не приписать полю то же свойство? Только теперь в формулу (1), казалось бы, разумно добавить множитель ( - 1) ведь при 1 исчезает сам диэлектрик. Однако тут дело сложнее. Хотя при 1 диэлектрик и превращается в вакуум, напряжение не может исчезнуть: ведь кто-то должен удерживать вместе заряды одного знака. Более точная теория говорит о том, что нужно ввести множитель 2 - 1 (впрочем, это не повлияет на порядок величины искомой оценки). Строго говоря, силы внутри заряженного диэлектрика различны в разных направлениях. В широко известном учебнике И.Е.Тамма 'Основы теории электричества', выдержавшем порядка десятка изданий и сыгравшем большую роль в подготовке отечественных физиков в последние пятьдесят лет, об этом сказано весьма образно: 'можно представить себе, что вдоль силовых линий поля натянуты упругие нити, подверженные натяжению и оказывающие друг на друга боковое давление'. Итак, для наших оценок примем, что наибольшее механическое напряжение внутри равномерно заряженного диэлек2 трика равно Emax0 (2 - 1) 2 , или, используя формулу (2),

При образовании наледи произойдет уплотнение в i раз, где i массовая плотность льда. Поэтому объемная плотность заряда станет равной

i 3 E = E 4a20 i = i 0 . 43 0 a a 0 3 (Любопытно отметить, что результат оказался не зависящим от 'водности' облака , что, впрочем, вполне понятно. Объемная плотность заряда в наледи такая же, как в каждой капле, с поправкой на отличие плотности льда от плотности воды.) Подставляя все это в выражение (3), получим = nQ 3 E pmax = i 0 0 a
2

(

2 - 1) h 20
2

2

=

9 i E 2 0 a

2

(

2 - 1) 0h
2

2

.

Осталось только сделать численную оценку. Примем i = 900 кг м 3 , 0 = 1000 кг м3 , E = 3 106 В м , а = 9 = 10 мкм = 10-5 м , = 100 , 1 (40 ) = 9 10 Ф м , h = = 1 см = 10
-2

м , тогда
9 9 1012 2 10-4 97 Па = 10 Па . -10 2 10 4 4 9 109 102

pmax =

pmax =

2 (2 - 1) h2 . 202

(3)

Пусть теперь рисунок 3,а изображает слой льда, налипший на поверхность какого-либо элемента конструкции самолета (например, переднюю кромку крыла), и пусть в переохлажденном облаке, в котором движется самолет, распределены метастабильные (готовые замерзнуть) капли с концентрацией n и радиусом а. Тогда массовая плотность капель в облаке равна 4 = n a 30 , 3 где 0 плотность воды. Далее, допустим (для численной оценки сверху), что каждая капля несет максимально возможный заряд, определенный предельным значением напряженности электрического поля E на ее поверхности, выше которого в воздухе начнется стекание заряда с поверхности капли. Тогда, согласно закону Кулона, этот заряд равен

Это значение вполне сравнимо с измеренными в лабораторных условиях пределами прочности льда. Вот только летать в таких облаках не рекомендуется. Конечно, рассмотренная геометрия мало похожа на переднюю кромку крыла. В следующем приближении можно было бы рассмотреть цилиндр, учесть, что линии тока воздуха и траектории капель изгибаются перед ним (это связано с известной теоремой Н.Е.Жуковского), и решить численно более сложную задачу. Но тут другая мысль пришла в голову Отличника: поскольку лед и вода (даже дистиллированная) обладают электропроводностью, заряд может стекать из наледи в проводник! Вернемся к конденсатору, заполненному веществом с диэлектрической проницаемостью и удельной проводимостью (величиной, обратной удельному сопротивлению) . Ясно, что, чем больше , тем больший заряд можно накопить на пластинах (ведь емкость конденсатора пропорциональна 0 ), а чем больше , тем скорее конденсатор разрядится. Отсюда очевидно, что характерное время разрядки равно = 0 (проверьте размерность!). Принимая = 100, = 10-6 1 (Ом м ) , получим = 10 -3 с . Значит, заряд почти мгновенно будет уходить из наледи. Да, но при этом должно выделяться джоулево тепло... Э, брат, подумал Отличник, чтобы во всем этом разобраться, нужно поступить на факультет аэромеханики и летательной техники Московского физико-технического института и с успехом его закончить. Чего вам и желаем!

Q = E 4a20 .