Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2011/056/Zvarich.pdf Дата изменения: Thu Jan 10 14:51:30 2013 Дата индексирования: Sun Feb 3 06:47:35 2013 Кодировка: Windows-1251

Рис. 2

Теперь построим соответствующий график зависимости t от tcp (рис.2). Из графика видно, что при абсциссе t = 20 њC ордината равна t = 1, 45 њC . Запишем уравнение теплового баланса в виде

IU = (Cв + Cоб ) t ,
откуда найдем искомую теплоемкость образца: 0, 2 A 35 B 180 c IU Cоб = - Cв = - 764 Дж К 105 Дж К . t 1, 45 K Из графика, приведенного на рисунке 1, хорошо видно, что прямая, характеризующая зависимость между средней

температурой сосуда с водой и приращением их температуры, может пересекаться с абсциссой. Эта точка пересечения для сосуда с водой соответствует температуре tcp 49, 6 њC (попытайтесь найти это значение самостоятельно). Известно, что с ростом температуры испарение идет более интенсивно, способствуя увеличению теплоотдачи. Если даже закон теплоотдачи не изменится, вода нагреется только до 49, 6 њC , т.е. она никогда не закипит. Аналогично, во втором опыте (см. график, приведенный на рисунке 2) после достаточно долгого времени температура воды с образцом не превысит 41, 6 њC , т.е. тоже никогда не закипит.

Расчет электроемкости конденсаторов
В.ЗВАРИЧ, В.ЛЯХОВЕЦ

К

динения конденсаторов: последовательное и параллельное. Формулы для нахождения общей электроемкости конденсаторов в этих соединениях давно известны. Но что делать, если конденсаторы соединены не последовательно и не параллельно? Один из методов, которым предлагается решать такие задачи, это метод симметрии. Но его использовать можно не всегда. Встает вопрос: как определить общую электроемкость, а также заряды элементов системы конденсаторов в самом общем случае? Постараемся найти ответ на этот вопрос. Начнем с простого: рассмотрим два последовательно соединенных конденсатора (рис.1). Очевидно, что при последовательном соединении заряды этих конденсаторов одинаковы. Пусть, например, q1 = q2 = 5 Кл . Чему равен суммарный заряд данной системы? На этот вопрос многие ответят так: 5 Кл + 5 Кл = 10 Кл. Но это неверно, потому что конденсатор состоит из двух параллельных пластин, разде-

АК ИЗВЕСТНО, СУЩЕСТВУЮТ ДВА ПРОСТЕЙШИХ СОЕ-

Авторы этой статьи Василий Зварич и Вадим Ляховец ученики школы 9 города Пинска (Республика Беларусь). (Прим. ред.)

ленных диэлектрической средой (например, воздухом). Это приводит к следующим интересным результатам (рис.2). Заряд от источника тока достигает крайней левой пластины первого конденсатора ем- Рис. 1 костью C1 . Он не может пойти далее, так как цепь прерывается. Однако положительный заряд на крайней левой пластине удаляет положительные заряды из правой пластины этого же конденсатора (через индукцию), приводя к пол- Рис. 2 ному заряду q1 = 5 Кл. Положительные заряды, удаленные из правой пластины первого конденсатора, отправляются через цепь на левую пластину второго конденсатора емкостью C2 . Тем же самым способом удаляются положительные заряды из правой пластины, приводя к полному заряду q2 = 5 Кл на конденсаторе емкостью C2 . Таким образом, полный заряд системы равен q = 5 Кл. Отсюда следует очень важное свойство: при последовательном соединении конденсаторов заряд между соседними пластинами двух конден- Рис. 3 саторов равен нулю (рис.3). Используем проведенные рассуждения для решения более сложных задач, где конденсаторы соединены произвольно. Это позволит нам определить заряд и напряжение каждого конденсатора независимо от способа соединения. Рассмотрим соединение конденсаторов, представленное на рисунке 4. Суммарную электроемкость можно вычислить по


ШКОЛА

В

'КВАНТЕ'

q Cобщ = общ , U где qобщ полный заряд и U = 1 - 2 напряжение между клеммами. Проанализируем перераспределение заряда между конденсаторами и найдем области, где заряд между пластинами соседних конРис. 4 денсаторов равен нулю. На рисунке 5 области нулевого заряда между соседними конденсаторами обозначены голубым цветом. Полный заряд этой системы равняется полному заряду только двух конденсаторов, емкостями С и 2С, которые являются самыми близкими к положительной клемме. Заряд прибывает на пластины только этих конденсаторов, а на остальных он перераспределяется, и никакие новые заряды не создаются в системе. Чтобы продолжить решение, мы в произвольном порядке приписываем заряды всем конденсаторам, как показано на рисунке 6, и получаем следующую систему уравнений:
-q1 - q3 + q5 = 0 , q2 + q4 - q5 = 0 ,

формуле

Подставив данные выражения в формулу для общей емкости, найдем q + q2 7C Cобщ = 1 = . U 5 Заметим, что первоначальная система уравнений может быть решена быстрее с помощью персонального компьютера. Данный метод нахождения общей емкости системы конденсаторов универсален. У него есть дополнительное преимущество, что мы не должны знать истинные знаки зарядов заранее: если мы предположили знак неправильно, решение просто даст нам отрицательный ответ. Применим теперь наш метод к решению конкретных задач. Задача 1. На рисунке 7 дана цепь, в которой R1 = 3R, R2 = R , C1 = C , C2 = 2C, C3 = 3C, С = 1 мкФ, 1 = 4B, 4 = 0. Нужно определить заряд на конденсаторе емкостью C1 . Решение. Зная, что по конденсаторам ток не идет, найдем общее сопротивление цепи:
Rобщ = R1 + R2 = 4 R ,

ток в цепи:

1 - 2 = 3 - 1 = 2 - 3 = 4 - 2 =
Рис. 5

3 - 4 =

q1 C q2 2C q5 C q3 2C q4 C

, , , , .

Теперь, зная, что 1 - 4 = U , необходимо решить данную систему и найти q1 и q2 . Складываем уравнения 3, 4, 5 и получаем q q q 0= 2 + 1+ 5, 2C C C или
q2 + 2q1 + 2q5 = 0 .

1 - 4 = 1, Rобщ 4R разность п отенциалов между точками 3 и 4: 3 - 4 = IR = 1 , 2 4 или 3 = 1 . 4 Теперь мы можем решить задачу нашим методом. И первое, что мы делаем, это на схеме в произвольном порядке расставляем заряды (рис.8). Из рисунка видно, что I=
q1 + q2 - q3 = 0 .

Рис. 7

Рис. 8

Остальные уравнения, как обычно, добираем из определения электроемкости конденсаторов: q q q 2 - 3 = 1 , 2 - 1 = 2 , 4 - 2 = 3 . 3C C 2C Зная, что 4 = 0 и 3 = 1 , решим данную систему уравне4 ний и найдем искомый заряд q1 :
C1 = 5 10-5 Кл . 8 Задача 2. В цепи, изображенной на рисунке 9, C1 = C , C2 = 2C, C3 = 3C, C4 = 4C, C5 = 5C, C6 = 6C, C7 = 7C, C8 = 8C, C9 = 9C, C10 = 10C, C11 = 11C, C12 = 12C, С = = 1 мкФ. Нужно найти общую емкость получившейся цепи конденсаторов. Решение. Данную задачу можно сразу же решить предлагаемым методом, необходимо только расставить заряды и потенциалы в произвольном порядке так, как это представлено на рисунке 10. Далее находим области, где суммарный заряд равен нулю это будут вершины куба. Составляем уравнения зарядов: q1 + q4 - q9 = 0 , q8 + q9 - q5 = 0 , q2 - q1 - q12 = 0 , q1 =
q5 + q6 + q12 = 0 , q10 - q8 - q7 = 0 , q3 - q4 - q10 = 0 , -q2 - q3 - q11 = 0 , q7 - q6 + q11 = 0 .

Рис. 6

Затем складываем уравнения 5, 6 и 7 и получаем q q q 0= 4+ 5+ 3 , C C 2C или
2q5 + q3 + 2q4 = 0 .

Из уравнений 3 и 6, учитывая, что разность потенциалов 1 - 4 равна U, находим q q U= 1- 3 . C 2C Теперь объединим получившиеся три уравнения с первыми двумя уравнения нашей исходной системы, выразим из них заряды q3 , q4 и q5 через заряды q1 и q2 и получим 3CU 4CU q1 = , q2 = - . 5 5


4 - 2 =

q6 q5 q8 q , 4 - 8 = , 8 - 3 = 7 , 2 - 3 = , 5C 6C 8C 7C q q q q 2 - 1 = 9 , 3 - 6 = 10 , 8 - 7 = 11 , 4 - 5 = 12 . 9C 10C 11C 12C

Необходимо определить общую электроемкость системы, но заряд от положительной клеммы идет только на конденсаторы емкостями C1 , C4 и C9 . Значит, надо найти заряды на этих конденсаторах. Обозначив 1 - 8 = U , решим полученную систему уравнений и получим
Рис. 9 Рис. 10

q1 2, 04CU , q4 11,16CU , q9 13, 20CU .

Остальные уравнения, как обычно, добираем из определения электроемкости конденсаторов: q q q q 1 - 5 = 1 , 5 - 7 = 2 , 6 - 7 = 3 , 1 - 6 = 4 , 3C C 2C 4C

Остается только найти общую электроемкость цепи: q + q4 - q9 Cобщ = 1 26,4C = 26,4 мкФ . U

Соль, огонь и вода
А.СТАСЕНКО
Математика это вам не физика, где можно химичить. Однажды на лекции в МФТИ в молодости был шалуном: 'Вуд знал, что натрий, мягкий серебристый металл, если его бросить в воду, внезапно загорается со взрывом и горит ослепительным желтым пламенем, извергая снопы искр и облака белого дыма он положил в карман, в маленькой жестяной коробочке, шарик из натрия, величиной с грецкий орех громко закашлялся и, на виду у всех плюнув в лужу, незаметно бросил шарик в том же направлении. Раздался страшный удар, полетели искры, и большое желтое пламя поднялось на поверхности воды. За ними разверзся ад вопли, молитвы, перевернутые стулья и один голос..: 'Спасайся кто может, негры! Этот человек плюнул огнем!.. только сам Старый Сатана умеет это делать!' (из книги В.Сибрука 'Роберт Вуд'). Однако, и мы кое-что умеем. По крайней мере, постараемся понять происходящее. Натрий 23 Na относится к интересной группе металлов, 11 называемых щелочными. Мы ежедневно употребляем его в пищу конечно, не в виде металла (ни-ни!), а в соединении с хлором. Это всем известная и вкусная поваренная соль NaCl. В человеческом сознании она почему-то таинственно связана с огнем; в некоторых языках слова 'соль' и 'солнце' звучат одинаково. В Писании хорошие люди называются 'солью земли' и есть удивительное словосочетание 'осолиться огнем'. Чем же интересны щелочные металлы? А тем, что их внешний электрон, называемый валентным, очень слабо связан с остальной структурой атома, так что атом натрия можно назвать водородоподобным у атома водорода один протон и один электрон. Но ведь молекула воды тоже состоит из протона H+ и гидроксила OH- (поэтому порой трудно решить щелочь она или кислота). Значит, все, что происходит при соприкос-

новении натрия с водой, можно представить в виде такого процесса:

Na + + e - + H+ + OH- H+ + e - + Na + + OH- + Q .
Тут слева представлены нейтральный атом натрия, содержащий электрон e - , слабо связанный с положительным ионом Na + , и диссоциированная молекула воды положительно заряженное ядро атома водорода (протон) H+ и гидроксил OH- . Заметим, что свободных протонов в жидкой воде нет они 'прилипают' к нейтральной молекуле, образуя ион гидрония: H3O+ H+ + H2O , так что можно в обеих частях приведенной выше реакции написать по одной нейтральной молекуле воды. Но это для нас несущественно, а существенно то, что протон тоже слабо связан с молекулой воды и его можно считать почти свободным. Да уж не химия ли это? спросит вдумчивый читатель. А что же такое химия, как не физический процесс обмена веществ электронными оболочками! (Не случайно существуют такие интересные науки, как физическая химия и химическая физика.) Вот справа и изображен результат перестройки электронных оболочек: 'почти свободный' электрон атома натрия объединяется с 'почти свободным' протоном гидрония, образуя нейтральный атом водорода 1H 1 (горючий газ!):
H+ + e - H ,

В

СПОМИНАЕТСЯ ОДИН ИЗВЕСТНЫЙ ФИЗИК, КОТОРЫЙ

а в воде остается диссоциированная щелочь NaOH. Так что же происходит с шариком натрия на поверхности воды? Плотность натрия 0, 97 г см 3 меньше плотности воды 1г см 3 , и уже поэтому шарик не тонет, а тут еще взрывное тепловыделение при соприкосновении с поверхностью, которое заставляет шарик натрия хаотически метаться, удовлетворяя жажду его атома отдать свой валентный электрон протону воды. Если перейти к энергетическому описанию, то можно сказать, что все эти атомы, ионы, радикалы и электроны сваливаются в потенциальную яму, а разность начального и конечного уровней энергии выделяется в виде кинетической энергии теплового движения конечных продуктов реакции. И вот освобожденная теплота реакции Q разогревает образовавшийся газ (водород), который вспыхивает в кислородосодержащей атмосфере, выделяя дополнительную теплоту сгорания. Можно сделать численные оценки энергетических характеристик некоторых процессов например, оценить, какая