Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2011/056/Olimp4.pdf Дата изменения: Thu Jan 17 15:44:14 2013 Дата индексирования: Sun Feb 3 06:47:26 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: rings

Участник

Баллы по задачам

Сумма баллов

Медаль

Пахарев Алексей 7 Циглер Александр 7

1

2 1 2

3 7 3

4 5 7

5 7 7

6 1 0 28 26 золотая серебряная

Руководители команды благодарны Д.Ю.Дойхену, много лет оказывающему содействие в подготовке и участии команды России в международных математических соревнованиях. 1. Для множества A = {a1, a2, a3, a4 } , состоящего из четырех попарно различных целых положительных чисел, обозначим через s A сумму a1 + a2 + a3 + a4 . Через n A обозначим количество пар индексов (i, j ) , 1 i < j 4 , для которых s A делится на ai + a j . Найдите все множества A, состоящие из четырех попарно различных целых положительных чисел, для которых n A принимает наибольшее возможное значение. Мексика 2. См. задачу М2245,а 'Задачника 'Кванта'. 3. Пусть f : R R функция, определенная на множестве действительных чисел и принимающая действительные значения, такая, что f ( x + y ) yf ( x ) + f ( f ( x )) для всех действительных x и y. Докажите, что f ( x ) = 0 для всех x0. Белоруссия

4. Дано целое число n > 0. Имеются чашечные весы и n гирь, веса которых равны 20, 21,..., 2n -1 . Все n гирь выкладываются одна за другой на чаши весов, т.е. на каждом из n шагов выбирается гиря, которая еще не выложена на весы, и добавляется либо на левую, либо на правую чашу весов; при этом гири выкладываются так, чтобы ни в какой момент правая чаша не была тяжелее левой. Найдите количество способов выполнить такую последовательность шагов. Иран 5. Пусть f функция, определенная на множестве целых чисел, принимающая целые положительные значения. Известно, что для любых целых m и n разность f (m ) - f (n ) делится на f (m - n ) . Докажите, что для любых целых m и n таких, что f (m ) f (n ) , число f (n ) делится на f (m ) . Иран 6. Пусть ABC остроугольный треугольник, и описанная около него окружность. Пусть прямая l некоторая касательная к окружности , и пусть la , lb и lc прямые, симметричные прямой l относительно прямых BC, CA и AB соответственно. Докажите, что окружность, описанная около треугольника, образованного прямыми la , lb и lc , касается окружности . Япония Публикацию подготовили руководители команды России на LII ММО Н.Агаханов, П.Кожевников, М.Пратусевич, Д.Терешин

Задачи олимпиады

XLII Международная физическая олимпиада
В 2011 году Международная физическая олимпиада школьников проходила в Таиланде с 10 по 18 июля. На олимпиаду приехали 380 школьников из 84 стран мира. На олимпиаде Россию представляли: Арзамасский Лев Калининград, лицей 23, учителя физики Боронилов Борис Анатольевич и Пец Александр Васильевич, Сопенко Никита Тамбов, лицей 14, учитель физики Бирюков Валерий Владимирович, Паринов Данила Воронеж, гимназия 9, затем СУНЦ МГУ, учителя физики Голубков Андрей Александрович и Лукьянов Илья Владимирович (СУНЦ МГУ), Шель Егор Тюмень, школа 29, затем СУНЦ МГУ, учителя физики Голубков Андрей Александрович и Лукьянов Илья Владимирович (СУНЦ МГУ), Асташкин Роман Королев Московской обл., лицей научно-инженерного профиля, учитель физики Третьякова Галина Сергеевна. Руководителями нашей команды были Станислав Миронович Козел и Валерий Павлович Слободянин. По традиции, участникам олимпиады было предложено решить три теоретические задачи и выполнить два экспериментальных задания. Как и в прошлые годы, лидерство захватили команды, представляющие страны юго-восточной Азии: Тайвань, Китай, Сингапур, Корея (южная). В нашей команде расклад по медалям в точности совпал с результатами прошлого года одна золотая, три серебряные и одна бронзовая медали. Члены сборной команды России показали следующие результаты: Участник команды Арзамасский Лев Сопенко Никита Паринов Данила Шель Егор Асташкин Роман Медаль золотая серебряная серебряная серебряная бронзовая

Ниже приводятся условия задач теоретического тура олимпиады.

Теоретический тур
Задача 1. Проблема трех тел и LISA 1.1. Два тела с массами M и m двигаются по круговым орбитам с радиусами R и r соответственно вокруг общего центра масс. Выразите угловую скорость вращения 0 отрезка, соединяющего тела, через R, r, M, m и гравитационную постоянную G. (1,5 балла) 1.2. Третье тело с пренебрежимо малой массой ч вра- Рис.1. Концентрические орбиты щается в той же плоскости трех тел в одной плоскости


ОЛИМПИАДЫ

по круговой орбите вокруг того же центра масс так, что остается неподвижным относительно тел с массами М и m (рис.1). Считайте, что третье тело не лежит на прямой, соединяющей первые два тела. Выразите следующие параметры через R и r: расстояние r1 от третьего тела ( ч ) до первого тела (М); расстояние r2 от третьего тела ( ч ) до второго тела (m); расстояние от третьего тела ( ч ) до центра масс системы. (3,5 балла) 1.3. Рассмотрите случай M = m. Тело массой ч выводят из положения равновесия в радиальном направлении (вдоль радиуса). Выразите циклическую частоту радиальных колебаний этого тела через 0 . Считайте, что момент импульса тела массой ч не изменяется. (3,2 балла) Лазерная интерферометрическая космическая антенна LISA (Laser Interferometry Space Antenna) представляет собой три одинаковых космических аппарата и предназначена для детектирования низкочастотных гравитационных волн. Каждый из аппаратов располагается в вершине равностороннего треугольника, как показано на рисунках 2 и 3. Длина сторон

ся в воздухе с плотностью 2 при температуре T2 и атмосферном давлении р. Мыльная пленка характеризуется поверхностным натяжением , плотностью и толщиной l. Поверхностное натяжение и масса мыльной пленки не измеl. няются с температурой. Считается, что R0 Увеличение энергии dE, требуемое для увеличения площади поверхности границы между мыльной пленкой и воздухом на величину dS, дается соотношением dE dS = , где поверхностное натяжение пленки. 2.1. Запишите отношение 1T1 2T2 через , p и R0 . (1,7 балла) 2.2. Найдите численное значение величины (1T1 2T2 ) - 1 , используя значения = 0,0250 Н/м, R0 = 1,00 см и p = 1, 013 105 Н м2 . (0,4 балла) 2.3. Воздух внутри пузыря первоначально теплее атмосферного. Найдите значение минимальной температуры T1min , необходимой для того, чтобы пузырь мог парить в воздухе не падая. Используйте значения T2 = 300 К, = 1000 кг м 3 ,
2 = 1, 3 кг м 3 , l = 100 нм и g = 9,80 м с2 . (2,0 балла)

Через некоторое время после образования мыльного пузыря установится тепловое равновесие между ним и окружающим воздухом. Поэтому в неподвижном воздухе мыльный пузырь опустится на землю. 2.4. Найдите минимальную скорость u поднимающегося вверх воздуха, при которой мыльный пузырь, находящийся в тепловом равновесии с воздухом, не опускается. Выразите ответ через , R0, g, l и коэффициент вязкости воздуха . Сила сопротивления определяется законом Стокса: F = 6R0u . (1,6 балла) 2.5. Рассчитайте численно величину u, используя значение = 1, 8 10-5 кг (м с ) . (0,4 балла)
Рис.2. Изображение орбиты LISA. Три аппарата вращаются с периодом 1 год. Угол ЗемляСолнцеLISA составляет 20 њ

Рис.3. Увеличенное изображение трех аппаратов LISA, двигающихся вслед за Землей; A, B и C три аппарата, находящихся в вершинах равностороннего треугольника

Проведенные расчеты показывают, что слагаемые, включающие поверхностное натяжение , не оказывают существенного влияния на результат. Поэтому во всех последующих пунктах поверхностным натяжением можно пренебречь. 2.6. Предположим теперь, что пузырь заряжен равномерно с общим зарядом q. Выведите уравнение для определения радиуса R1 пузыря после его зарядки через R0 , p, q и электрическую постоянную 0 . (2,0 балла) 2.7. Предположим, что заряд пузыря q не очень велик
4 0 R0 p , так что зарядка пузыря увеличивает его радиус на малую величину R ( R = R1 - R0 ) . Найдите R . Известно, что (1 + x )n 1 + nx при x 1 . (0,7 балла) 2.8. Найдите такой заряд q, выраженный через l, 2 , , 0 , R0 , p, при котором пузырь будет неподвижно висеть в воздухе. Вычислите величину этого заряда. Электрическая постоянная 0 = 8, 85 10-12 Ф м . (1,2 балла)

(q (
2

)

)

треугольника плеч интерферометра около 5,0 млн км. Система LISA находится на земной орбите так, что угол ЗемляСолнцеLISA составляет 20њ . Каждый аппарат движется по слегка наклоненной орбите вокруг Солнца. Фактически в системе отсчета, связанной с LISA, аппараты вращаются вокруг центра антенны с периодом 1 год. Аппараты непрерывно посылают лазерные сигналы друг другу и принимают их. Таким образом они детектируют гравитационные волны, измеряя небольшие изменения длин плеч интерферометра интерференционным методом. Столкновение массивных объектов, таких как черные дыры, в соседних галактиках является источником гравитационных волн. 1.4. Определите относительную скорость движения одного из аппаратов относительно другого в плоскости LISA. (1,8 балла) Задача 2. Заряженный мыльный пузырь Сферический мыльный пузырь радиусом R0 , наполненный воздухом с плотностью 1 при температуре T1 , находит-

Задача 3. Рассеяние иона на нейтральном атоме (в честь столетия модели атома Резерфорда) Ион массой m и зарядом Q движется с начальной скоростью v0 из бесконечности к окрестности нейтрального атома m и электрической поляризуемостью . Примассой M цельный параметр равен b (рис.4). Атом мгновенно поляри-

Рис.4. Рассеяние иона на нейтральном атоме


#$

КВАНT

+

2011/?5-6

зуется электрическим полем E приближающегося иона. В результате у него появляется электрический дипольный момент p = E . Релятивистские эффекты не учитывайте. 3.1. Рассчитайте наРис.5. Дипольный момент полярипряженность Ep электзованного атома рического поля на расстоянии r на оси диполя с дипольным моментом p , расположенного в начале координат (точка О на рисунке 5). (1,2 балла) 3.2. Найдите выражение для силы f , действующей на ион со стороны поляризованного им атома. Покажите, что эта

сила есть сила притяжения независимо от знака заряда иона. (3,0 балла) 3.3. Найдите электрическую потенциальную энергию взаимодействия атома и иона, выразив ее через , Q и r. (0,9 балла) 3.4. Получите выражение для минимального расстояния rmin между ионом и атомом (см. рис. 4). (2,4 балла) 3.5. Если прицельный параметр b меньше критического значения b0 , то ион упадет по спиральной траектории на атом. В этом случае ион окажется нейтрализованным, а атом заряженным. Этот процесс известен как 'переза2 рядка'. Чему равна площадь сечения S = b0 этой перезарядки атома 'с точки зрения' налетающего иона? (2,5 балла) Публикацию подготовили С.Козел, В.Слободянин

Всероссийская студенческая олимпиада по физике 2011 года
Заключительный тур Всероссийской физической олимпиады студентов технических вузов прошел 15 ноября 2011 года в Московском государственном техническом университете (МГТУ) им. Н.Э. Баумана. По результатам олимпиады в командном зачете первое место заняла команда Санкт-Петербургского государственного политехнического университета (СПГПУ), набравшая 120 баллов, второе место заняла команда Национального исследовательского технологического университета (НИТУ) 'МИСиС' (59 баллов), третье место команда Московского института электронной техники (53 балла). Победителями в личном зачете стали Антон Соболев (СПГПУ) первое место, Петр Кравчук (СПГПУ) второе место, Петр Карпов (НИТУ 'МИСиС') третье место. которого равна B и перпендикулярна плоскости, образованной шинами. К шинам подключен внешний источник тока с ЭДС, равной - . Определите затраты энергии в источнике при полном вытеснении воды через отверстие в дне сосуда сечением s. Магнитным полем возникающих токов пренебречь. 5. Полный термодинамический цикл, совершаемый с одноатомным газом, состоит из изотермы 12, изобары 23, изотермы 34 и изобары 41. Точки 1 и 3 находятся на адиабате. Определите КПД цикла, если известно, что максимальное давление отличается от минимального в n раз. 6. Два соосных одинаково ориентированных бесконечных конуса с полууглом при вершине заряжены равномерно по поверхности зарядами противоположных знаков с поверхностной плотностью + . Найдите распределение электрического поля на оси системы, если конусы сдвинуты относительно друг друга на расстояние а. 7. Сплошной металлический шар радиусом R разделен по диаметральной плоскости пополам, и половинки изолированы друг от друга тонким слоем диэлектрика. Определите силу взаимодействия между половинками, если они заряжены зарядами q и Q. 8. Заряд q массой m летит в плоскости симметрии, перпендикулярной оси магнитного диполя p, со скоростью v ч0qp . Определите момент импульса на расстоянии r 4mv заряда относительно оси диполя, если известно, что возможен захват заряда магнитным полем диполя на круговую орбиту. 9. Расстояние между точечным источником монохроматического света с длиной волны и точкой наблюдения P равно l. На каком расстоянии от источника следует помес2l , тить непроницаемый экран с отверстием радиусом r = 9 чтобы интенсивность света в точке наблюдения была максимальной? Публикацию подготовили В.Голубев, В.Глушков

Задачи олимпиады
1. Ракета А и цель В движутся с постоянными по модулю скоростями v и u соответственно (v > u). Цель В уходит от ракеты, сохраняя угол между векторами AB и u равным . Определите скорость столкновения ракеты и цели, если известно, что максимальное ускорение, которое может развить ракета, равно a, а ее траектория выбирается из условия минимального времени. 2. Космическое тело массой M движется вокруг Земли по круговой орбите с первой космической скоростью v0 . Тело при взрыве разваливается на две части, массы которых относятся как 1:2. Определите минимальный импульс силы, получаемый каждой частью при взрыве, необходимый для того, чтобы обе части удалились от Земли на бесконечность. 3. Сплошной цилиндр, двигаясь по горизонтальной поверхности, накатывается со скоростью v0 на наклонную плоскость с углом наклона . Определите, на какую высоту закатится цилиндр, если проскальзывание отсутствует, а удар о наклонную плоскость абсолютно неупругий. 4. Сосуд квадратного сечения размером L Ч L заполнен водой до высоты H и накрыт сверху металлическим поршнем массой m. На противоположных стенках сосуда проложены вертикальные токоподводящие шины, касающиеся поршня. Сосуд находится в однородном магнитном поле, индукция