Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2003/03/63.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:28 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:31:58 2012 Кодировка: Windows-1251

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ

63

CE = p a, EA = p c. Поскольку

Докажем, что 2n + 1 степень тройки. Если q простой делитель числа 2n + 1, отличный от 3, то

B F A E N D C

AF BD CE Ч Ч = FB DC EA = p -b p -c p -a Ч Ч = 1, p -a p-b p-c

(1

+3

)

2 n +1

- 1- 3

(

)

2 n +1

= Cж 1+ 3 и

(

Рис. 17

p-b = , после чего p-c 9. Как и при решении 2 1 1 + = и 3I 3N 3M вы и для координат

по теореме Чевы отрезки AD, BE и CF пересекаются в одной точке N. Для вычисления барицентрических координат точки N докажи p-a , те, что для них = p-b

2m 3 , где С натуральное число. Но 1 + 3 где m целое число, не делящееся на 3. Нетрудно проверить, что m не степень двойки. (В противном случае также и некоторое T, являющееся решением уравнения V 2 - 3T2 = -2 , было бы степенью двойки, а это невозможно.) Мы пришли к противоречию: число t = 3 s не имеет простого делителя, отличного от 3. Итак, 2n + 1 степень тройки. Если 2n + 1 делится на 9, то

(

) - (1 - 3 ) ) - (1 - 3 ) =
q q q

q

ц , ш

найдите , , . упражнения 6, докажите, что что аналогичные равенства справедлии .

из равенства 1 + 3 = 16 275 + 15 3 3 следует, что z = 3 s делится на 17. Значит, 2n + 1 = 1 или 3, откуда n = 0, x = 1 и z = 1 или n = 1, х = 5 и z = 3. 53. а) Выполнив замену x = Х 4y, получаем уравнение
X 2 + 2X - 15 y 2 - 12 y + 1 = 0 , которое можно записать в виде ( X + 1)2 - 3 5y2 - 4 y = 0 .

(

)

9

(

)

Уравнения Пелля
(см. 'Квант' ?4, 6 за 2002 г.) 52. а) (s; r ) = (1; 1) или (2; 3) . Если s нечетно и r > 1, то

Обозначив u = X + 1 и домножив обе части уравнения на 5, получаем
5u 2 - 3 25y 2 - 20 y = 0 ,

(

)

откуда

(

)

3 s ? 3 ? 1 ? 2r + 1 ( mod 4 ) . Если же s = 2k четно, то
2r = 3k - 1 3k + 1 , откуда 3k - 1 = 2a и 3k + 1 = 2b для некоторых целых неотрицательных а и b, так что 2b - 2a = 2 , откуда b = 2, а = 1, k = 1, s = 2 и, наконец, r = 3. б) (x; y; z) = (1; 1; 1) , (1; 3; 2) , (5; 1; 3) или (7; 5; 4) . Пусть y > > 1. Поскольку х нечетно, то x ? 1 ( m od 4 ) . Следовательно, z четно, т.е. z = 2s. Значит,

5u2 - 3 ( 5y - 2

)2

= -12 .

(

)(

)

Домножив обе части на 5 и обозначив v = 5u и w = 5y 2, получаем уравнение v2 - 15w2 = - 60 . Поскольку для d = 15 имеем q = 4 + 15 и
4 + 15 + 60 2 15 < 9,

2y = 3
так что

()

s2

- x2 = 3 s - x 3 s + x ,

(

)(

)

м3 s - x = 2a , п нs b п3 + x = 2 , о где а, b целые неотрицательные числа. Сложив уравнения и поделив на 2, находим 3s = 2
a -1

то для нахождения множества М достаточно проверить значения w = 1, 2, ..., 8. Подходит только w = 8, которому соответствует значение v = 30. Значит,
v + w 15 = + 3 0 + 8 15 4 + 15

+ 2b -1 .

где n О Z . Поскольку нас интересуют только те пары (v; w) , для которых v ? 0 и w ? 3 ( m od 5 ) , то, как легко проверить, подходит лишь

(

)(

)

n

,

Поскольку число 3 s нечетно, то а = 1. Значит, x = 3 s - 2 . Подставив найденное выражение во второе уравнение системы, получаем
3 =2
s b -1

v + w 15 = 30 + 8 15 -4 - 15

(

)(

)

n

.

+1.

В силу пункта а), имеем (s; b ) = (1; 2) или (2; 4) . Этим двум Пусть теперь у = 1. Если z четно, то 2 = 3 z 2 - x 2 , что невозможно, так как число 2 нельзя представить в виде разности квадратов целых чисел. Значит, z нечетно: z = 2s + 1. Обозначим t = 3 s . Тогда x 2 - 3t 2 = -2 . Значит, x + t 3 = n = 1 + 3 2 + 3 для некоторого целого неотрицательного 2 1 числа n. Поскольку 2 + 3 = 1 + 3 , то 2

случаям соответствуют ответы (x; y; z) = (1; 3; 2) или (7; 5; 4) .

()

2

Теперь легко выписать ответ: w+2 = y= 5 n 15 + 4 15 -4 - 15 - 15 - 4 15 -4 + 15 = 5 15 x = u - 4y - 1 =

(

)(

)(
n

)(

)

n

+ 2 15

,

= 15 + 4 15 -4 - 15

(

(

)(

)

3s = t =

(x

+t 3 - x-t 3

)(

)

(

)

=

(1

23

=

+ 3 2+ 3

)(

) - (1
n

- 3 2- 3

)(

)

n

23

= - 1- 3 3

2 +2 54. б) x = m2 - 2 55. Взяв r = 9, имеем 2212 - 67 Ч 27 2 = -2 ; далее опять r = 9 и 1899 2 - 67 Ч 23 22 = -7 ; потом r = 5 и 35 772 - 67 Ч 4372 = 6 ; на предпоследнем шаге r = 7 приводит к равенству 9 0532 - 67 Ч 11062 = -3 ; наконец, r = 8 дает ответ. (Оригинальное индийское решение этой задачи использует прием, сокращающий вычисления. Обе части равенства

(

)( n ) (m

) + (15 - 4 15 )(-4 + 15 ) n ) , y = 2mn (m + n ) .
2 2

n

- 4y - 1 .

=

(1

+3

)

2n +1

2

n +1

(

)

2n +1

2212 - 67 Ч 27 2 = -2 возводят в квадрат, получая

.

+ 67 Ч 27 2 - 67 (2 Ч 27 Ч 221 ) = ( -2 ) , после сокращения которого на 4 получается искомый ответ.)
2

(221

)

2

2

2