Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2003/03/57.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:28 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:31:55 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ

57

Рис. 7

Рис. 8

линии (рис. 7), потом перегнем по пунктирным синим линиям исходный прямоугольник так, чтобы получилась двухслойная фигура из 5 квадратиков (рис.8). Из полученной фигуры легко сложить коробку. 9. Очевидно, 1 + x2 = xy + yz + zx + x2 = ( x + y ) ( x + z) . Аналогично, 1 + y 2 = ( y + x ) ( y + z довательно, 1 + x 2 1 + y2 1 + z2 = ( x + y) ( y + z) ( z + x) . 11. Заметим, что не меньше 24 фишек из имеющихся 25 в процессе перестановок придется поднимать на верхнюю горизонталь, а затем опускать обратно (затратив тем самым как минимум по 2 хода на каждую фишку). Поясним, почему. Если какие-то две фишки при перемещении не покинут нижнюю горизонталь, то они не смогут поменяться, тогда как каждая фишка, находившаяся первоначально слева от другой, в итоговом расположении должна оказаться справа (и наоборот). Поэтому на такие 'возвратно-поступательные' вертикальные перемещения потребуется не меньше 24 Ч 2 = 48 ходов. Что касается горизонтальных перемещений, то здесь оценка снизу вполне очевидна. Фишке номер 1, чтобы добраться до места номер 25, потребуется не меньше 24 ходов. То же относится и к фишке номер 25, которая пробирается к месту номер 1. Далее, фишка номер 2, чтобы дойти до 24-го места, затратит не меньше 22 ходов (и фишка номер 24 тоже). Ну, и так далее. Поэтому всего потребуется не менее 2 Ч ( 24 + 22 + K + 2) = 312 ходов. Суммарное минимальное число ходов (вертикальных и горизонтальных), таким образом, оценивается величиной 48 + + 312 = 360. С другой стороны, можно показать, как достичь цели ровно за 360 ходов. Для этого: 1) Фишку номер 1 поднимаем в верхний ряд и переводим вправо до 25-го места, оставляя ее пока в верхнем ряду. 2) Фишку номер 2 поднимаем в верхний ряд и переводим вправо до 24-го места, оставляя ее пока в верхнем ряду. ... 12) Фишку номер 12 поднимаем в верхний ряд и переводим вправо до 14-го места, оставляя ее пока в верхнем ряду. 13) Фишку номер 13 поднимаем в верхний ряд и оставляем там. 14) Фишку номер 14 переводим влево до 12-го места, а затем поднимаем в верхний ряд и оставляем там. 15) Фишку номер 15 переводим влево до 11-го места, а затем поднимаем в верхний ряд и оставляем там. ... 24) Фишку номер 24 переводим влево до 2-го места, а затем поднимаем в верхний ряд и оставляем там. 25) Фишку номер 25 переводим влево до 1-го места и оставляем там, никуда не поднимая. 26) Все фишки с верхнего ряда опускаем в нижний ряд. Как легко посчитать, мы управились за 360 ходов. 12. Нельзя. 13. Десятичная запись числа a = 2n , где n О N , содержит не более n цифр. Запишем цифры числа a в обратном порядке и припишем к полученному числу b справа n нулей. Сложим полученное число b Ч 10n с числом a. Получим палиндром b Ч 10n + a , который делится на a = 2n , поскольку 10n делится на 2n .

14. Любое. 16. n = 5. При n = 3 достаточно рассмотреть треугольник с углами величиной 10њ, 10њ и 160њ; при n = 4 четырехугольник с углами 40њ, 50њ, 100њ и 170њ. Докажем 'от противного', что в выпуклом пятиугольнике искомые три угла всегда есть. Пронумеруем величины углов пятиугольника по возрастанию: 0o < 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 < 180o . Тогда 3 + 4 ? 5 и 1 + 2 ? 5 , откуда

540o = (1 +
o

2

)+(

3 +

4

)

+ 5 ? 3 5 ,

(

)(

)(

)

и 1 + z2 = ( z + x ) ( z + y) . Сле-

)

2

2

2

так что 5 ? 180 , что неверно. 17. Расположенный в левом верхнем углу доски квадрат размером 10 ? 10 разобьем на 25 синих квадратов размером 2 ? 2 , а расположенный в правом нижнем на 25 красных (рис.9). Очевидно, получили 50 квадратов, удовлетворяющих условию задачи. Для доказательства того, что больше не бывает, рассмотрим 25 клеток, помеченных на рисунке 9 звездочками. Если бы квадратов размером 2 ? 2 было больше 50, то какая-то из помеченных клеток оказалась бы не менее чем в трех квадратах, а в таком случае хотя бы два из них пересекались по двум клеткам, а не по одной. 18. Всего в шеренге (колонне, диагонали) может быть от 1 Ч 7 = 7 орденов до 3 Ч 7 = 21 , т.е. всего 15 вариантов. Но шеренг, колонн Рис. 9 и диагоналей 16, а число 16 больше, чем 15. Поэтому хотя бы одно совпадение неизбежно. 20. Данное в условии задачи неравенство равносильно неравенству

* * * * *

* * * * *

* * * * *

* * * * *

* * * * *

(

a - 1) 1 - b
7

(

5

)

> 0,

которое равносильно неравенству

(a

- 1 (1 - b ) > 0 ,

)

1 1ц ; - ч . Авторский замы2 2ш сел решения заключался в избавлении от знаменателей и за-

а оно, в свою очередь, равносильно рое требовалось доказать. ж 1 1 1ц ж 21. (x; y; z) = з ; ; ч или з - 1 ; и 2 2 2ш и2

тому неравенству, кото-

мене переменных a = yz, b = xz и c = xy, приводящей к системе мc 2 + b2 = a, п2 п 2 нa + c = b, (* ) п2 2 пb + a = c. о Вычитая почленно из первого уравнения второе, получаем
b2 - a 2 = a - b ,

4 2 откуда 4 a = a - a . Поскольку ситуация a = b = 0 невозможна, то 4a3 + a - 1 = 0.

откуда a = b или a + b = 1. Случай a = b приводит к системе 2 м2 пc = a - a , н2 п2a = c, о

Этому уравнению удовлетворяет значение a = 1/2. В силу те-