Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2003/03/21.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:25 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:31:36 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п

ЗАДАЧНИК

'КВАНТА'

21

середины отрезка QM; получим точку Y. При этом образовался прямоугольник YQHM со стороной YQ = = 1. Заметим, что ломаная XMY на самом деле является отрезком. В пятиугольнике XPKQY биссектриса KM угла K разделяет его на четырехугольники, у которых равны периметры и равны площади. Осталось заметить, что пятиугольник XPKQY равен пятиугольнику ABCDE. В.Произволов

М1845. Назовем несоседние натуральные числа а и b близкими, если a2 - 1 делится на b и b2 - 1 делится на а. а) Пусть n > 1. Докажите, что в любом отрезке [ n; 8n - 8 ] найдется пара близких чисел. б) Постройте отрезок [ n; 8n - 9] (n > 1), в котором пар близких чисел нет.
Начнем с пункта б). Непосредственно проверяем, что на отрезке [2; 7] нет близких чисел. а) В [2; 8] и в [3; 1 6] содержится пара ( 3; 8 ) . Докажем, что при n > 3 достаточно брать отрезок [n;8n - 17] (пример [4; 14 ] показывает, что [n;8n - 18] было бы недостаточно). В [4; 15] лежит пара ( 4; 15 ) . При 5 n 8 имеем 8n - 17 23 , поэтому можно брать пару (8; 21) . При 9 n 2 1 имеем 8n - 17 55 , поэтому можно брать пару (21; 55 ) . Пусть теперь n > 21. Рассмотрим a1 = 1 , a2 = 3 , an = 3an -1 - an -2 . Пусть ak наибольший член этой последовательности, меньший n. Имеем 21 ak < n , ak + 2 = 8ak - 3ak -1 8ak - 24 < 8n - 24 . Для завершения решения покажем, что любые два соседних члена любой последовательности, задаваемой равенствами
a1 = 1 , a2 = m , ak
+2

совпадает с последовательностью натуральных чисел. Таким образом, в этом случае мы получаем множество всех пар соседних чисел. Если же m = 3, то для любого натурального n число an это (2 n)-й член последовательности Фибоначчи. Отметим напоследок, что множество пар ( 2n-1; 2n+1 ) чисел Фибоначчи это множество пар ( a; b ) таких 2 натуральных чисел, что a < b, a + 1M b , b2 + 1M a . Любая такая пара пара соседних членов последовательности b1 = 1 , b2 = 2 , bk +2 = 3bk +1 - bk . И.Богданов, В.Сендеров

Ф1853. В большой комнате на гладком горизонтальном твердом полу стоит кровать. Одна ее ножка чуть короче других, поэтому под нее пришлось подложить гладкий брусок. Оказалось, что трение совсем мало и брусок этот легко выбить маленький упругий шарик, который пускают по полу со скоростью больше 1 м/с, с этим справляется. Задачу злоумышленнику усложнили он может бросать шарик с уровня пола на расстоянии 3 м от бруска, а посредине между ним и бруском поставили ширму высотой 0,5 м. С какой минимальной скоростью нужно (вернее не нужно!) бросить шарик, чтобы выбить брусок?
Бросим шарик под углом 45њ так, чтобы он пролетел расстояние L = 3 м. Тогда максимальная высота траектории будет равна L 3м H= = = 0, 75 м > h = 0, 5 м , 4 4 начальная скорость будет

v=

gL 5, 5 м с

= mak

+1

- ak

( )

(где m > 2), близкие числа. 2 Покажем прежде всего, что an - an -1an
2 a2 2

2 дукции: - a1a3 = m - m - 1 = 1. Пусть an - an -2 an = 1 . Тогда 2 2 an - an -1an +1 2 = an - an -1

(

)

+1

= 1. База ин-1

-

(m
-2

an - an - man

-1

)

=

2 = an - man -1an + ( an -2 an + 1) = 2 = an + an ( an -1

)

2 2 + 1 = an - an + 1 = 1 .

2 2 Значит, an +1 - 1M an и an - 1M an +1 при любом натуральном n; осталось доказать, что an +1 - an > 1 . Это тоже легко сделать при помощи индукции: если an - an -1 > 1 , то

- an = = (m - 1) an - an -1 > an - an -1 > 1 . Это и завершает решение задачи. 2 Из равенства an - an -1 (man - an -1 ) = 1 следует, что близкие числа могут быть соседними членами лишь одной последовательности ( ). Близких чисел, не описываемых последовательностями ( ), не существует: любая пара близких чисел, кроме (1; 1) , пара соседних членов одной из таких последовательностей. Это можно доказать при помощи так называемого 'метода спуска'. Заметим, что при m = 2 последовательность ( ) an
+1 -1

- an = (man - an

)

и горизонтальная составляющая скорости составит v 3, 9 м с > 1 м с . vx = 2 Эта траектория нам подходит. Но можно обойтись и меньшей скоростью, если воспользоваться подсказкой о твердой поверхности пола и об упругости шарика. Проще всего посмотреть на рисунок: в этом случае дальность полета равна L1 = L 3 = L = 1 м , но бросить шарик под углом 45њ ('оптимальный' бросок) уже не выйдет высота не подходит ( H1 = L1 4 = 0, 25 м < < 0, 5 м ). Придется увеличивать вертикальную составляющую скорости до vy1 = 2 gh 3, 2 м с . Тогда vy 1 L2 g L1 = vx1 2 1 , и vx1 = 1, 6 м с > 1 м с . 6 2h g Скорость шарика при этом равна
2 2 v1 = vx1 + vy1 3, 5 м с.

А вот 'разделить' L на 5 (или более) частей уже не получится велика требуемая скорость (или слишком высока ширма). П. Коренев