Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2003/02/63.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:22 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:31:23 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: раствор

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ

63

XI Международная олимпиада 'Интеллектуальный марафон'
Письменный индивидуальный тур МАТЕМАТИКА
1. а) 2
2003 2002

можно разрезать на прямоугольники 2 ? 3 и, следовательно, на уголки. При нечетных m ? 5 , n ? 9 вырежем из прямоугольника m ? n угловой прямоугольник 5 ? 9 . Оставшаяся часть доски разрезается на прямоугольники 2 ? 3 , а сам прямоугольник 5 ? 9 без труда разрезается на уголки.

- 1 ; б) 9 Ч 2

. Указание. Умножим число

ФИЗИКА
ml 1. а) s = ; б) s = 0, при k R 0 к концу движения рыm+M ml , а обратное смещение бака лодка сдвинется на s ' m+M m+M . лодки будет сравнимо с s через большое время t : k 2. k = 4. Указание. Во втором случае шнур в конце движения окажется нерастянутым. R 3. T = 2 ' 230 дней, где R радиус Земли, ( 4 )3 g = 0, 001 . q2 R . 4. k = 28/25 = 1,12. 5. v = 40 R2m mp mg 1 = arcsin = 30o . 6. a = . 7. = arcsin md 2 m + 0 SdB2

A = a1...ak , где a1 ,..., ak ? 0 цифры, на 9 9...9 , n ? k . 13 2 n Имеем
B = A 10n - 1 = A Ч 10n - A = a1...ak 00...0 - a1...ak . 13 2

(

)

Выполняя вычитание 'столбиком', получим

n

B = A 10n - 1 = a1...(ak - 1) 9 9 ...9 (9 - a1) (9 - a2 ) (10 - ak ) . 13 2
n -k

(

)

Это число (n + k)-значно, а сумма цифр его равна 9n. Поэтому количество цифр в десятичной записи произведения равно
1 + 2 + 22 + ... + 22002 = 22003 - 1 ,

а сумма цифр равна 9 Ч 22002 . 2. h2 . Указание. На продолжении стороны AD за точку D возьмем точку D? такую, что AD? = CD . Треугольники D? AB и BDC равны. Поэтому треугольник D?BD равнобедренный и, кроме того, прямоугольный. y-x+3 и 3. 3 3/ 2 . Пусть y = 2x 3 + x - 3 , тогда x 3 = 2 y-x+3 3 y = 3, т.е. 2 x = 2y 3 + y - 3 . Осталось решить систему уравнений

Устный командный тур МАТЕМАТИКА
1. 6 ч. 2. Может. См. рис.8. * 3. Не является, ибо 2 * 16016003 + 1 = 4002 . 4. 17. 5. 5. 6. На прямой l ) возьмем точку O и + + проведем полуокруж, ) , ность радиусом OA с центром в точке O Рис. 8 (первая линия), пересекающую l в точках K и L. Затем раствором циркуля, равным KA, проведем окружность с центром в точке L, пересекающую полуокружность в точке A? (вторая линия). Наконец, линейкой проводим прямую AA? (третья линия). 7. a > b. Это легко следует из цепочки неравенств a +1-b 1 . < a (1 - b ) ? 2 2 8. Можно. Пусть нужной тройки команд нет. Возьмем любые 2 команды A и B и будем считать, что A выиграла у B. Но тогда A выиграла и у всех команд, проигравших B, т.е. A набрала больше очков, чем B. Таким образом, любые две команды набрали по разному числу очков. Но тогда найдется команда, набравшая ровно 7 очков. Противоречие. 9. Племяннику в 2025 году исполнится 45 лет, так что в 2002 году ему исполнилось 22 года. 10. 8. Пусть vA , vB и vC скорости мотоциклистов, t время, по прошествии которого они оказались в одной точке, l длина дороги. Тогда v At - vBt = 4l , vBt - vCt = 5l , т.е. v At - vCt = 9l . Значит, А прошел на 9 кругов больше, чем С, и, следовательно, обгонял его 8 раз.

м y = 2x 3 + x - 3, п н 3 п x = 2y + y - 3. о Вычитая из первого уравнения второе, после преобразований получаем уравнение ( x - y ) x2 + x y + y 2 + 1 = 0 .
Второй множитель заведомо не равен нулю 2 ж2 ц yц 32 ж 2 з x + xy + y = з x + 2 ч + 4 y ? 0ч , и ш и ш поэтому x = y. 4. а) Нет; б) нет; в) нет. Указание. Пусть n 1, n, n + 1 последовательные целые числа. Сумма их квадратов равна 3n2 + 2 и при делении на 9 имеет остатки 2 или 5. В то же время сумма кубов нескольких последовательных чисел при делении на 9 может иметь остатки 0, 1 или 8. 5. 120њ. Указание. Точка L является точкой пересечения биссектрис внутреннего угла ABK и внешнего угла AKC треугольника ABK. Поэтому AL биссектриса внешнего угла при вершине A этого треугольника. 6. 11. Если груз представляет собой 44 ящика с массой 36 9 т= т, то меньше чем за 11 рейсов его перевезти 44 11 нельзя. Покажем, как можно перевезти весь груз за 11 рейсов. Сначала будем загружать ящики в машину по одному до тех пор, пока масса груза в кузове не превысит 4 т. Снимем после этого последний положенный ящик, отложим его в сторону и отправим машину. Затем повторим такую процедуру 7 раз. Останутся 8 отложенных ящиков и еще сколько-то ящиков с общей массой, меньшей 4 т. Очевидно, что все оставшиеся ящики можно увезти за 3 рейса. 7. Пусть, для определенности, m ? n . Разрезать прямоугольник m ? n на уголки можно тогда и только тогда, когда m ? n делится на 3, кроме случаев: m = 1, n любое; m = 3, n нечетно. Указание. Если m ? n делится на 6, прямоугольник

(

)

ФИЗИКА
2. Падение. 3. Разжечь костер под трубой. 4. Лодка будет плавать, если верхний край ящика окажется выше уровня воды в реке. 5. Примерно 65 дней. 6. В первом чайнике уровень воды ниже основания носика. 7. В 8 раз. 8. Космонавт никогда не упадет на Землю, а будет двигаться по эллиптической орбите, близкой к круговой.