Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2003/02/55.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:22 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:31:19 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 80

ОЛИМПИАДЫ

##

В через 9 часов после встречи, а автомобиль, выехавший из В, приехал в А через 4 часа после встречи? 2. Вершины четырехугольника ABCD лежат на сторонах четырехугольника AB1C1D1 . Может ли площадь ABCD 1 быть больше площади AB1C1D1 ? 1 3. Является ли число 16016003 простым? 4. Сколько сторон у выпуклого n-угольника, если число его диагоналей равно 119? 5. Какое наибольшее количество месяцев, содержащих 5 пятниц, может быть в году? 6. Даны прямая l и точка A вне ее. Проведя всего 3 линии циркулем и линейкой, постройте прямую, проходящую через точку A параллельно l. 7. Какое из положительных чисел a или b больше, если 1 a 1 - b > ? 4 8. В однокруговом турнире по волейболу (за победу присуждается одно очко, за поражение ноль, ничьих не бывает) участвовали 12 команд. Можно ли выбрать три команды А, В и С так, чтобы А выиграла у В, В у С, а С у А, если ни одна из команд не набрала 7 очков? 9. Сколько сейчас лет моему племяннику, если в x 2 году ему исполнится x лет? 10. Три мотоциклиста А, В и С выехали из одной точки кольцевой дороги с постоянными скоростями в одном направлении. Через некоторое время они снова оказались в одной точке. Сколько раз мотоциклист А обгонял С, если А обгонял В 3 раза, а В обгонял С 4 раза? ФИЗИКА 1. Как двум участникам марафона преодолеть глубокую расщелину в греческих горах, если в их распоряжении есть только две легкие, но прочные доски, длина каждой из которых немного меньше ширины расщелины? 2. Шарик для пинг-понга бросили вертикально вверх. Что займет больше времени подъем или падение? Почему? 3. Один из участников олимпиады заблудился в лесу. Стемнело. Вдруг он обо что-то споткнулся. При свете спички он увидел водопроводную трубу. Как он может определить, в какую сторону течет вода по трубе? 4. Для хранения живой рыбы рыбак сделал в лодке ящик с отверстием в дне лодки. Будет ли лодка плавать или утонет? Почему? 5. Сколько времени падала бы Земля на Солнце, если бы она внезапно остановилась? 6. В двух одинаковых чайниках, стоящих на одинаковых горелках, кипит вода. У одного чайника крышка неподвижна, а у другого все время бренчит и подпрыгивает. Почему? 7. Во сколько раз возрастет полезная мощность вентилятора при увеличении скорости вращения в два раза? 8. Космонавт оттолкнулся от орбитальной станции на высоте 400 км от Земли и полетел в ее сторону со скоростью 5 м/с. Как скоро он упадет на Землю? 9. Античные источники описывают маятниковые часы для использования вне помещений, сделанные в виде тонкой трубки, заканчивающейся резервуаром со ртутью. В чем смысл такого устройства? 10. Как далеко от вас находится линия видимого горизонта, если вы плывете в лодке при полном штиле вне видимости берегов? Считайте, что линия глаз находится на высоте 1 м.

частности, пифагорейцы нашли бесконечные серии (не все) троек натуральных чисел (a, b, c), для которых a2 + b2 = c2 . Вслед за пифагорейцами выясните, существует ли целочисленный прямоугольный треугольник, одним из катетов которого является число а) 2001; б) 2k + 1 , где k произвольное натуральное число. 2. В древнем Египте представляли дроби в виде суммы 1 различных долей (т.е. дробей вида ). В папирусе жреца n Ахмеса имелись даже таблицы таких представлений для 2 дробей вида для 5 ? n ? 99 . Представьте в виде суммы n 2 7 ; б) . долей дроби а) 19 19 3. Архимед при вычислениях, связанных с окружностью, пользовался утверждением, которое в современной формулировке выглядит так: 'В дугу AB вписана ломаная AMB из двух отрезков ( AM > MB ). Тогда основание перпендикуляра KH, опущенного из середины K дуги AB на отрезок AM, делит ломаную пополам: AH = HM + MB'. а) Докажите утверждение Архимеда. б) Какую тригонометрическую формулу заменяло в вычислениях Архимеда это утверждение? Запишите эту формулу. 4. Французский математик монах Марин Мерсенн (1588 1648) состоял в переписке с крупнейшими математиками своего времени (Ферма, Паскалем, Декартом и др.). Его переписка исполняла роль своего рода математического журнала. Сам Мерсенн изучал, среди прочего, совершенные числа, т.е. числа, равные сумме своих делителей, отличных от самого числа. Совершенные числа связаны с простыми числами Мерсенна, т.е. с простыми числами вида 2n - 1 : всякое четное совершенное число имеет вид 2n -1 2n - 1 , если 2n - 1 простое число. Докажите, что если 2n - 1 простое число, то и n простое. 5. 5 августа 2002 года исполнилось 200 лет со дня рождения великого математика, прожившего очень короткую жизнь неполных 27 лет. Он внес гигантский вклад во многие разделы математики. Теоремы и термины, связанные с его именем, известны всем математикам, начиная с первого курса университета. Одним из самых его замечательных результатов является доказательство теоремы, окончательно решившей проблему, связанную с алгебраическими уравнениями, и не поддававшуюся усилиям математиков в течение многих столетий. Кто этот математик и о какой теореме идет речь? Назовите какие-нибудь известные вам термины, теоремы и факты, связанные с его именем. ФИЗИКА 1. Ученые и учения Древней Греции: а) Кому из древнегреческих ученых принадлежит учение, что 'ни одна вещь не возникает беспричинно, все возникает на каком-нибудь основании и в силу необходимости' (принцип причинности) и 'все вещи состоят из атомов и пустоты, все явления природы происходят в результате их движения'? б) Кому первому принадлежит гипотеза о шарообразности Земли? в) Кто сформулировал правило параллелограмма для сложения скоростей: 'если движимое движется сразу двумя движениями так, что пространства, пробегаемые в одно и то же время, находятся в постоянном отношении, то это движимое движется по диагонали параллелограмма, длина сторон которого находится в том же отношении'? 2. Отклонение света, испущенного звездой в поле тяготения Солнца, один из первых эффектов, правильно рассчитанных общей теорией относительности Эйнштейна, было





История научных идей и открытий
МАТЕМАТИКА 1. Легендарная школа Пифагора, заложившая основы математической науки, среди прочих задач занималась задачей о целочисленных прямоугольных треугольниках. В