Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2003/02/35.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:21 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:31:08 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п

ВА И А Н Ы В А РР ИАН Т Т Ы

35

Материалы вступительных экзаменов 2002 года
Институт естественных наук и экологии при 'Курчатовском институте'
МАТЕМАТИКА Вариант письменного экзамена 1. Решите систему уравнений

м(p + 2) x + 4y ? 4 p + 3, п н2x + (6 p + 1) y ? 2 - 6 p, п о px + 10 y ? 4 ( p - 1) имеет единственное решение. 3. При каком значении x0 площадь криволинейной фигу4 2 ры, ограниченной графиком функции y = x + 8 x , касательной к нему, проведенной в точке графика с абсциссой x0 , и прямой x = x0 - 2 , наименьшая? Какова эта наименьшая площадь? 4. В треугольник АВС помещены три равные окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Все три окружности имеют одну общую точку. Найдите радиус этих окружностей, если радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника АВС равны r и R. 5. Два конуса имеют общее основание и расположены по разные от него стороны. Радиус основания r, высота одного конуса h, другого Н ( h ? H ). Найдите наибольшее расстояние между двумя прямыми, содержащими образующие этих конусов. 6. Вычислите сумму nx + (n - 1) x 2 + (n - 2) x 3 + K + 2x
ФИЗИКА Вариант письменного экзамена 1. На горизонтальной поверхности стола стоит тонкий обруч массой М и радиусом R (рис.1). В противоположных точках его вертикального диаметра m закреплены два точечных груза с M массами m1 и m2 ( m2 > m ). НайR дите период Т малых колебаний обруча, считая, что проскальзывание в точке касания обруча и стола отсутствует. Указание: sin ' и cos ' 1 - 2 2 при малых значеm ниях . 2. На горизонтальной поверхносРис. 1 ти стоит цилиндрический сосуд с гладкими стенками, перекрытый невесомым поршнем (рис.2). К поршню и дну сосуда прикреплена невесомая упругая пружина. Верхняя часть сосуда сообщается с вакуумом. Под
n -1

мп н п о3 на интервале - 2. Найдите все неравенств

cos ( x + y ) + 5 cos ( x - y ) = 4, cos x sin y - 2 sin x cos y = 1
2 ? x ? 2 , - 2 ? y ? 2 . значения параметра р, при котором система

+ xn .

поршнем находится одни моль идеального газ. Газ нагрели так, что его температура увеличилась на конечную величину T . 1) Найдите теплоемкость газа С и работу А, совершенную газом в процессе нагревания. 2) Найдите изменение объема газа V, если известны его начальный объем V1 и начальная темпера- Рис. 2 тура T . Длиной недеформиро1 ванной пружины пренебречь. 3. Найдите количество теплоты, которое выделится в цепи после замыкания ключа K (рис.3). Потерями энергии на излучение пренебречь. C 4. В одной плоскости расположены длинный тонкий прямой провод, по K которому течет постоян- C ный ток I, и квадратная R рамка со стороной а, сдеE ланная из проводника обR щим сопротивлением R. Расстояние между проводом и ближайшей стороE ной рамки, параллельной Рис. 3 проводу, равно b. На какое расстояние l сместится рамка после того, как ей мгновенно сообщат небольшой импульс p , перпендикулярный проводу? Считать, что l = b . 5. Тонкий стержень перпендикулярен главной оптической оси собирающей линзы с фокусным расстоянием F. Расстояние от стержня до линзы d больше F. Между линзой и стержнем перпендикулярно главной оптической оси ставят плоскопараллельную пластинку, изготовленную из стекла с показателем преломления n. 1) При каких значениях толщины пластинки l линза будет давать действительное изображение стержня? 2) Найдите коэффициент поперечного увеличения линзы . Считать, что поперечные размеры пластинки велики по сравнению с диаметром линзы. Публикацию подготовил С.Фомичев

Институт криптографии, связи и информатики Академии ФСБ РФ
МАТЕМАТИКА Письменный экзамен Вариант 1 (факультеты прикладной математики и информационной безопасности) 1. Какое из двух чисел больше:

-

log113 (1 7424) 75 - 1 или ctg ж з 23 log13 (1 21) и

ц ч? ш