Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2003/02/23.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:20 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:31:01 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: arp 220

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

КРУЖОК

23

В уже упомянутой книге И.Ф.Шарыгина и в статье В.Дубровского и В.Сендерова 'Ловушка для треугольника' ('Квант' ? 3 за 1999 г.) доказано, например, что центр тяжести треугольника движется по некоторой окружности. Мы решим эту задачу и исследуем траектории других замечательных точек треугольника Понселе.

K H HH H KKKKKK 3. Пусть u = X1X2 . Вычислите скалярное произведение u2 = u Ч u , пользуясь тем, что, по предыдущему упражнению, H H H H KKKKK KKKKK H u = AX2 - AX1 = 2 - 1 b - 2 - 1 c .

Преобразуйте полученное выражение с помощью соотношений HHH a + b + c = 0 , + + = 1.

Барицентрические координаты
Барицентрические координаты точек плоскости могут оказаться полезными при решении многих геометрических задач. В дальнейшем они будут основным аппаратом наших исследований. Определение. Пусть дан треугольник ABC и точка X. Барицентрическими координатами X относительно ABC называются числа = SBCX SABC , = SACX SABC , = SABX SABC , причем если X лежит вне треугольника, то площади треугольников, не имеющих с ABC общих внутренних точек, считаются отрицательными, так что сумма трех координат равна 1. Нетрудно убедиться, что барицентрические координаты любой точки определены однозначно, и, напротив, любые три числа , , , сумма которых равна единице, однозначно определяют точку на плоскости. Поскольку отношение площадей двух треугольников с общим основанием равно отношению их высот, барицентрические координаты равны отношениям расстояний от точки X до прямых BC, AC и AB к + соответствующим высотам треугольника ABC, но взятым B с соответствующим знаком. ++ Например, координата положительна, если точки A и X лежат по одну сторону от +++ C прямой BC, равна нулю, если A ++ + точка X лежит на BC, и отри+ цательна, если A и X находятся по разные стороны от BC. На рисунке 4 показаны знаки Рис. 4 чисел , , в зависимости от положения точки X. Пусть даны точки X1 и X2 с координатами ( 1; 1; 1 ) и ( 2; 2; 2 ) соответственно, а Y точка с координатами (; ; ) , принадлежащая отрезку X1X2 . Тогда
= 1 + (1 - ) 2 , = 1 + (1 - ) 2 , = 1 + (1 - ) 2 ,

Симметрические функции
Многочлен f a, b, c называется симметрическим, если он не меняется при любой перестановке аргументов a, b, c. Можно доказать (мы не будем здесь этого делать), что f a, b, c можно выразить через основные симметрические многочлены
1 = a + b + c , 2 = ab + ac + bc , 3 = abc .

Например,
a 2b + a 2c + b 2c + b 2a + c 2a + c2b =

= a + b + c ab + ac + bc - 3abc = 12 - 33 .
Упражнение 4. Выразите через 1 , а) a2 + b 2 + c2 ; б) a 3 + b 3 + c 3 .
2

и

3

функции

Из формулы (1) следует, что для замечательных точек X1 и X2 треугольника расстояние X1X2 является симметрической функцией длин сторон a, b, c. Это замечание дает возможность выразить расстояние X1X2 через 1 , 2 , 3 . В свою очередь, функции 1 , 2 , 3 могут быть выражены через полупериметр p и радиусы R и r. Прежде всего,
1 = a + b + c = 2 p

по определению. Далее,
2 = ab + ac + bc = p2 + r 2 + 4 Rr , 3 = abc = 4 Rpr .

где
= YX2 . X1X2

Упражнение 1. Докажите это утверждение.

В дальнейшем нам также понадобится формула, выражающая расстояние d между двумя точками через их барицентрические координаты ( 1; 1; 1 ) и ( 2; 2; 2 ):
d 2 = - (1 -

(

2

) (1

+ ( 1 -

2

Доказательство формулы (1) проводится с помощью несложных, но довольно длинных вычислений. Провести их вы сможете самостоятельно, решив следующие упражнения.
H KKKK H H 2. Пусть точка X имеет координаты ; ; . Тогда AX = b - c , H KKKK H KKKH H где b = AC , c = BA .

Упражнения

++ -
2

очевидным образом получается из двух abc . формул для площади S треугольника: S = rp и S = 4R
3

Выражение для

Упражнение 5. Докажите формулу для 2 . Указание. Воспользуйтесь формулой Герона S 2 = p p - a p - b p - c .

Итак, расстояния между любыми двумя замечательными точками треугольника могут быть выражены через функции от p, r и R. Для этого нужно вычислить барицентрические координаты замечательных точек. Нас главным образом будут интересовать расстояния точек O и I до других замечательных точек.

Барицентрические координаты точек O и I
Здесь мы вычислим барицентрические координаты 'основных' точек центров вписанной и описанной окружностей. жa b cц ; Прежде всего, I = з ; . Для доказательства дои 2p 2p 2p ч ш 1 статочно заметить, что S ABC = rp , а S ABI = rc , поэтому 2 c a b = 2 p . Аналогично, = 2p , = 2 p . Для вычисления координат точки O заметим, что S ABO = 1 = cR cos РC . В самом д еле, если угол C о стрый, 2 то РAOB = 2РC , но тогда высота равнобедренного треугольника AOB, опущенная на сторону AB, равна R cos РC . Аналогично, если угол C тупой, то РAOB = 2 - 2РC , но тогда высота треугольника AOB равна - R cos РC . Поэтому

)

c2 +
2

)(

1 -

)

b 2 + (1 -

2

)(

1 -

2

)

a 2 . (1)

)