Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2003/02/25.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:20 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:31:03 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: rainbow

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

КРУЖОК

25
L

Упражнение 7. Докажите, что точка G существует, т.е. что упомянутые отрезки пересекаются в одной точке. Докажите также формулы для барицентрических координат точки G.

Вычисления по формуле (1) дают
OL2 = R2 - 6Rrt - 3r r + 4R t2 ,
2 IL = 2r r + R t - 3r r + 4R t2,

По формуле (1) находим

OG2 = R2 - 4rp2 R - r
IG 2 = r 2 - 3r 2 p
2



r + 4R ,

2

r

+ 4R

2

.

Исключая p2 , получаем
OG 2 - R2 4 R + r 2 2 = 1 3 r , т.е. kOG + k2 IG = C , IG 2 - r 2 G

где t = 2Rr p 2 - r 2 - 4Rr . Исключая из этих соотношений t, получаем, что L движется по кривой, уравнение которой





где k1 , k2 и C выражаются через постоянные величины r и R. Таким образом, искомое геометрическое место есть окружность, центр которой лежит на прямой OI (рис.9), так что G движется по окружности.

k1 x - x0



2

+ k2 y - y0



2

= const,

Рис. 12

где k1 ? k2 , k1 > 0 , k2 > 0 . Такая кривая является эллипсом (рис. 12).

Точки Торричелли
Если на сторонах треугольника ABC построить во внешнюю сторону правильные треугольники ABC1 , BCA1 и ACB1 , то прямые A1 A , BB и CC пересекутся в одной 1 1 точке T1 , называемой первой точкой Торричелли (рис.13,а). Эта точка обладает замечательным экстремальным свойством: если наибольший угол треугольника меньше 120њ, то сумма расстояний от вершин треугольника до точки T1 меньше, чем до любой другой точки плоскости.

Точка Нагеля
Точкой Нагеля N называется точка пересечения отрезков, соединяющих вершины треугольника с точка-

Рис. 9

a) C

б) B A B B

B A N
N

T C T A B A C

A

C

C

Рис. 10

Рис. 11

Рис. 13

ми касания соответствующих вневписанных окружностей (рис.10).
Упражнение 8. Докажите, что упомянутые отрезки пересекаются кие координаты точки N равны жp-a pзp;p и а) точка N существует, т.е. что в одной точке; б) барицентричесb p - cц ; p ч. ш

Существует и вторая точка Торричелли T2 , она получается аналогичным образом, если правильные треугольники построить внутрь треугольника ABC (рис.13, б). Координаты точек, T1 и T2 пропорциональны числам
a sin РA + 3 , b sin РB + 3 , c sin РC + 3 .

Из выражений для барицентрических координат точек M, I и N следует, что эти точки лежат на одной прямой и MN = = 2MI. Отсюда вытекает, что точка N тоже описывает окружность (рис.11).
Упражнение 9. Докажите это.

Для точек Торричелли выражения для расстояний до точек O и I получаются довольно сложными. Однако можно заметить, что при переходе от одной из этих точек к другой в выражениях для расстояний меняется знак при p. Таким образом, траектории этих точек являются двумя частями одной кривой. Можно показать, что эта кривая имеет четвертый порядок.

Точка Лемуана
Точкой Лемуана называется точка L, сумма квадратов расстояний от которой до сторон треугольника минимальна. Ее барицентрические координаты
a
2

Неподвижные точки
И наконец, укажем несколько точек, остающихся при вращении треугольника неподвижными. Это, прежде всего, центры гомотетий вписанной и описанной окружностей треугольника. Кроме того, неподвижным остается центр тяжести треугольника с вершинами в точках касания сторон треугольника Понселе с вписанной окружностью. Для доказательства достаточно заметить, что эта точка лежит на прямой OI и делит отрезок OI в отношении, не зависящем от p.

2 p

2

- r 2 - 4 Rr , b c
2



2

2 p

2

- r 2 - 4Rr ,



2 p

2

- r 2 - 4R r .



4 Квант ?2