Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2003/02/11.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:19 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:30:55 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п

ОЖЕРЕЛЬЕ

ШТЕЙНЕРА,

ИЛИ

ЛЮБОВЬ

К

ВЫЧИСЛЕНИЯМ

11

догадывается, что все дело в каком-то механизме, скрытом внутри; его разбирает любопытство: а что же там, внутри, происходит? В нашем случае, можно догадываться, все дело в некоторой закономерности, которой подчинены радиусы окружностей, составляющих цепочку Штейнера. Сейчас мы вскроем эту закономерность и, таким образом, заглянем внутрь механизма, управляющего цепочкой (и ожерельем) Штейнера.

В этом равенстве перенесем вправо слагаемое x1x2 , возведем в квадрат обе части полученного равенства и 2 2 заменим y1 , y2 выражениями, получаемыми из (2) и (3). Это приводит (после упрощений) к равенству

(

a - r2

)2

2 x1 + ( a - r1

)2

2 x2 - 2 x1x2 a 2 - a (r1 + r2 ) - r1r2 =

(

)

= 4ar1r2 (a - r1 - r2 ) . (8) Наконец, заменив в нем величины xi , i = 1, 2, правыми частями равенств (6), получаем (разумеется, после упрощений) следующую связь между r1 и r2 (любите вычисления, читатель!):

Вычислительное доказательство
Итак, имеем пару закрепленных окружностей (неконцентрических) и ограниченное ими кольцо. Пусть а > b > 0 радиусы этих окружностей, с > 0 расстояние между их центрами. Ясно, что b + с < а. Цепочки Штейнера пока нет; она появится позже. Рассуждение, которое приведет к доказательству теоремы Штейнера (и даже к некоторому ее уточнению), разобьем на шаги. Шаг 1. Впишем в кольцо пару окружностей так, что обе они касаются закрепленных окружностей и касаются друг друга. Пусть r1, r2 радиусы этих окружностей. Цель этого шага y найти зависимость между r1 и r2 . Введем на плоскости r r декартовы координаты х0у, причем центры закрепленных окружностей x пусть имеют координаты c, (0; 0) и (c; 0), а точки с координатами ( x1; y1 ) и ( x2 ; y2 ) центры двух только что построенных окружностей (рис.2). ВыРис. 2 разив расстояния между центрами окружностей через их координаты, получаем систему уравнений

r12 + r22 - 2


c2 - a2 - b2 + 6ab

8 (a - b

( )

a +b
2

)2

-c

2

r1r2 -

(

a+b

)

2

-c

rr2 (r1 + r2 ) + 1

(

16 (a + b

)2
2

(

a+b

)

2

-c

)

r 2r 2 212

= 0 .(9)

Это уравнение несколько упрощается, если от радиусов rk , k = 1, 2, перейти к обратным величинам k = rk-1 , k = 1, 2, и ввести величины

E=

c2 - a 2 - b2 + 6ab

(

a+b

)

2

-c

2

, F=

8 (a - b

)
2

(

a +b

)

2

-c

, (10)

G=

(

16 ( a + b

)2
2

(

a+b

)2

-c

)

2

.

Тогда уравнение (9) перепишется в виде
2 1 + 2 - 2 E12 - F (1 + 2 ) + G = 0 . 2

(11)

(

x1 - x2

)2 + (

y1 - y2

)2

= (r1 + r2

)2

,

(1) (2) (3)

2 2 x1 + y1 = (a - r1 2 2 x2 + y2 = (a - r2

)2
,

,

Подчеркнем, что величины E, F, G зависят только от радиусов и взаимного расположения закрепленных окружностей, а потому фиксированы; величины i , i = 1, 2, связанные уравнением (11), переменные (пара вписанных окружностей может скользить внутри кольца, сохраняя взаимное касание). Равенство (11) и было целью Шага 1. Оно отнюдь не выглядит обнадеживающим. В дальнейшем нам понадобятся неравенства

)2

-1 E 1 ;

(12)

( (

x1 - c

)2

2 + y1 = (b + r1 ) , 2 + y2 = (b + r2

2

(4) (5)

x2 - c

)2

)2

.

Исключим из них xi , yi , i = 1, 2. Во-первых, из (2), (4) (а затем из (3), (5)) получаем (путем вычитания и последующего деления на 2с) равенства

xi =

a2 + c2 - b2 - 2 (a + b ) ri . 2c

(6)

Далее, сложив (2), (3) и вычтя сумму из (1), приходим к равенству

читатель без труда докажет их, используя уже упомянутое неравенство а > b + с. Шаг 2. Пусть теперь в кольцо вписаны три окружности с радиусами rk , k = 1, 2, 3, причем вторая (с радиусом r2 ) касается первой и третьей. Положим, как и выше, k = rk-1 , k = 1, 2, 3. Сейчас мы выведем соотношение, связывающее величины k . С этой целью заменим в уравнении (11) величину 1 независимой переменной х. Получим квадратное уравнение. Ясно (здесь требуется минутное размышление!), что его корнями являются 1, 3 . Но тогда, согласно формуле Виета для суммы корней квадратного уравнения, справедливо равенство

x1x2 + y1y2 = a - a (r1 + r2 ) - r1r2 .
2

1 + 3 = 2 E2 + F .
Это соотношение и было целью Шага 2.

(13)

(7)