Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2003/02/19.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:20 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:30:59 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 8

ЗАДАЧНИК

'КВАНТА'

'

С другой стороны,

2 m - n = x2 + y2 - n = y - n - x



2



? y 2 - y - 1 =

2

где 0 < x <

, y ? 0 . Имеем: f 0 = 0 , f y > 0 при 4 y > 0, f y R 0 при y R ? . Далее, f ? y = cos y x ln cos x - sin y x ln sin x =
y y = cos x ln cos x - tg x ln sin x ,

= 2y - 1 ? 2 2 4 n + 1 . Осталось заметить, что при n > 10000
2 2 n +1 < 3 n.
4 4

А.Голованов

М1838. На плоскости взято конечное число красных и синих прямых, среди которых нет параллельных, так, что через любую точку пересечения одноцветных прямых проходит прямая другого цвета. Докажите, что все прямые проходят через одну точку.
Предположим противное. Рассмотрим синюю прямую l; пусть А, В две наиболее удаленные друг от друга точки пересечения l c красными прямыми, m и n красные прямые, прохоC дящие через А и В; С n точка пересечения m и n (рис.1). Тогда через С проl p ходит синяя прямая р, коm B торая пересекает l в какойто точке D отрезка АВ, D иначе А и В не наиболее удаленные. Рассмотрим все четверки A прямых l ?, m ?, n ?, p ? , расРис. 1 положенных как l, m, n, p ( l ?, p ? одного цвета; m ?, n ? другого; m ?, n ?, p ? C пересекаются в одной точn q ке; точка пересечения p ? и l l ? лежит между точками F пересечения l ? с m ? и n ? ), B m и выберем среди них такую, в которой прямые l ? , D m ? , n ? образуют треугольник наименьшей площади (рис.2). Тогда через точку A D ? проходит прямая q ? , Рис. 2 одноцветная с m ? . Она пересекает либо отрезок B ?C ? , либо A ?C ? (пусть, для определенности, B ?C ? ). Тогда прямые n ?, l ?, p ?, q ? образуют конфигурацию с треугольником меньшей площади. Получили противоречие. В.Дольников, И.Богданов М1839. Пусть 0 < x < . Докажите, что 4
co cos x s2 x

поэтому f ? y имеет единственный корень при y > 0, так как функция g y = tg y x монотонна. Из равенства f 2 = f 2 cos2 x + sin 2 x = f 4 следует, что f ? 2 > 0 , f ? 4 < 0 . Перепишем первое неравенство:









cos2 x ln cos x > sin 2 x ln sin x ,
что эквивалентно первому неравенству задачи. Аналогично, f ? 4 < 0 , или

cos4 x ln cos x < sin 4 x ln sin x , что эквивалентно второму неравенству задачи.

В.Сендеров

М1840. В сферу вписаны несколько правильных тетраэдров так, что каждые два из них имеют общую вершину. Докажите, что все тетраэдры имеют общую вершину.
Поначалу заметим, что все наши тетраэдры равны; можно считать, что ребро каждого из них равно 1. При этом, если два из них имеют две общие вершины, т.е. общее ребро, то они совпадают. Два тетраэдра T1 и T2 имеют общую вершину А (только одну). На сфере найдется окружность , на которой расположены остальные шесть вершин тетраэдров T1 и T2 . Отметим свойство окружности : если один конец ее хорды длины 1 является вершиной T1 либо T2 , то другой конец хорды тоже является вершиной T1 или T2 соответственно. Предположим, что среди наших тетраэдров нашелся тетраэдр T3 , для которого точка А не является вершиной. Тогда есть точка В общая вершина тетраэдров T3 и T , и точка С общая вершина тетраэдров T3 и T2 . 1 Отрезок ВС является ребром тетраэдра T3 и хордой длины 1 окружности . В силу свойства окружности точки В и С, обе сразу, должны являться вершинами и тетраэдра T1 , и тетраэдра T2 , что противоречит факту. В.Произволов

> sin x < sin x

s in 2 x

, .

а также
co cos x s4 x sin 4 x

Ф1848. При движении точки по прямой график зависимости ее скорости от координаты представляет в выбранном масштабе четверть окружности (рис.1). Найдите ускорение точки в конце отрез- v ка когда скорость спа- v дает до нуля. Найдите также время движения на отрезке (0; x0 ) .
Такая зависимость между скоростью точки и ее координатой получается при гармонических колебаниях. Проще всего записать энергетический баланс, на-

На первый взгляд кажется, что одно из неравенств противоречит другому, но это не так. Рассмотрим f y = cos y x - sin y x ,


Рис. 1

x



x