Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2003/01/47.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:16 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:30:38 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п

ВАРИАНТЫ

47

задними колесами диаметром 40 см движется по прямой дороге, проходящей через точки А и В. Между точками А и В ровно 100 метров. Точка А покрашена. Через точку А проезжают правые колеса тележки и в точках соприкосновения с ней красятся. В свою очередь, при каждом соприкосновении с дорогой эти точки оставляют свой след в виде точек на дороге. Никакие точки на дороге, кроме точки А, не окрашивают колеса. Тележка движется от точки А к точке В. Найдите: а) наименьшее расстояние между соседними окрашенными точками; б) количество окрашенных точек на отрезке АВ. 5. В треугольнике PQR точка Т лежит на стороне PR, РQTR = РPQR , PT = 8, TR = 1. Найдите: а) сторону QR; б) угол QRP , если радиус описанной около треугольника Р PQT окружности равен 3 3 . 6. Решите систему уравнений м x 3 = 5x + y, п н3 п y = 5 y + x. о Вариант 12 (филологический факультет) 1. Решите неравенство

Какое наибольшее целое число месяцев может проучиться Эллочка в школе, чтобы словарь людоеда после одного года посещения проповедей обязательно остался богаче словаря Эллочки? Вариант 13 (экономический факультет, отделение экономики) 1. Докажите или опровергните следующее утверждение: периметр ромба с диагоналями 1 и 3 больше длины окружности радиуса 1. 2. Решите неравенство

2x ц ж з1 - 5 ч и ш

7 +11x - 6 x

2

? 1.

3. Решите систему уравнений
м y - xy - x = 11, п н2 2 п xy - x y = -30. о

x 2 ? 0. ц ж x- чЧ x sin з 2ш и 2. Окружность радиуса 3 проходит через середины трех сторон треугольника АВС, в котором величины углов А и В равны 60њи 45њ соответственно. Найдите площадь треугольника. 3. Решите уравнение log
x
6

Ч arcsin

4. Бригада рабочих выполняет задание за 42 дня. Если бы в бригаде было на 4 человека больше и каждый рабочий бригады работал бы на 1 час в день дольше, то это же задание было бы выполнено не более чем за 30 дней. При увеличении бригады еще на 6 человек и рабочего дня еще на 1 час все задание было бы закончено не ранее чем через 21 день. Определите наименьшую при данных условиях численность бригады, а также продолжительность рабочего дня. 5. Решите уравнение

ж ж цц log2 з cos 3 з - xч ч Ч log2 cos 2x + log2 sin 5x + sin x = 0. и6 шш и
6. Найдите все значения а, при которых неравенство
4

1 ж ц 1 + tg2 x + 2 sin з - 2xч + 3 cos x - sin x = ctg x . 4 и ш

x 2 - 6 ax + 1 0 a 2 + 4 3 + 6 ax - x 2 - 1 0 a 2 ?

?

4

3a + 2 4 -

4. Положительное число а подобрано так, что меньший корень уравнения
x3 + 2x = 4x2 - 4

3 + y - 2a2 + y 2

3a

является одновременно одним из решений неравенства
a
5 x-4

>a

- x2 + 4 x - 4

.

имеет единственное решение. 7. Равные кубы А и В, имеющие общую вершину, расположены так, что ребро куба А лежит на диагонали куба В, а ребро куба В лежит на диагонали куба А. Найдите объем общей части этих кубов, если длина их ребер равна 1. Вариант 14 (факультет психологии) 1. Решите неравенство
x +1 > x - 2.

Решите это неравенство. 5. В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар радиуса 6, а боковая грань составляет угол 45њ с высотой пирамиды. а) Найдите площадь основания пирамиды. б) В данную пирамиду вписан второй шар так, что он касается всех боковых граней и первого шара; затем вписан третий шар, касающийся всех боковых граней и второго шара, и т.д. Найдите сумму объемов бесконечной системы вписанных шаров. 6. Словарь людоедов из племени 'Мумбо-Юмбо' составляет 300 слов. Эллочка Щукина легко и свободно обходилась тридцатью. Однажды людоед начал посещать проповеди миссионера, поэтому его словарный запас, оставаясь целочисленным, стал увеличиваться на некоторое число процентов за каждые полгода. Эллочка поступила в вечернюю школу и каждый месяц стала узнавать целое число новых слов, равное 50% от того количества слов, которое людоед знал к концу первого полугодия. Однако через несколько месяцев Эллочка бросила школу.

2. Решите неравенство
log
x +1

x

2

+ 3x - 10 > 2 .



3. Решите уравнение

2

2

x

ж +з и

1ц 2ч ш

2x -1

= 3.

4. На катете АС прямоугольного треугольника АВС как на диаметре построена окружность. Она пересекает сторону АВ в точке Е. На стороне ВС взята точка G так, что отрезок AG пересекает окружность в точке F, причем отрезки EF и AC параллельны, BG = 2GC и AC = 2 3 . Найдите GF. 5. Решите уравнение

cos 6 x - 3 cos 5x + cos 4 x - 4 cos x + 5 = 0 .