Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2003/01/31.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:15 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:30:27 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: guide 8.0

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

КРУЖОК

31
(1
- x) x на интер1 - 2x
2

Признак равенства треугольников по трем биссектрисам доказан. Замечание. Выше мы уже доказали другие признаки равенства треугольников. Подытоживая все результаты вместе, заключаем, что треугольники равны, если они имеют ћ равные высоты, ћ равные медианы, ћ равные биссектрисы.
Существует ли треугольник с заданными биссектрисами?

Заметим, что вещественная функция =

1 вале x 0; непрерывная и монотонно возрастающая. 2 Последний факт следует из того, что ее производная ( x ) =

(1

- x ) ( 4x2 - 3x + 1)

(1

- 2x

)

2

Пока остается неясным следующий вопрос. Существует ли треугольник, длины биссектрис которого равны трем наперед заданным положительным числам la , lb , lc ? Должны ли мы на эти числа накладывать какие-либо ограничения, как это было в случае с высотами и медианами? Оказывается, для любых положительных чисел la , lb , lc такой треугольник существует. Эта задача имеет длинную историю. По всей видимости, одна из первых ее формулировок принадлежит французскому математику Анри Брокару (18451922), хотя нет сомнений, что задача занимала умы математиков и раньше. Брокар опубликовал свою формулировку в 1875 году. В 1994 году румынские математики Петру Миронеску и Лаурентин Панаитопол в журнале 'Mathematical Monthly' привели решение, основанное на теореме Брауэра о неподвижной точке. Ниже мы приведем свое решение, в идейном плане доступное старшеклассникам, хотя и требующее для полного обоснования некоторых фактов математического анализа.1 Теорема. Для любых положительных чисел la , lb , lc существует единственный треугольник с биссектрисами, длины которых равны la , lb , lc . Доказательство. Напомним, что биссектрисы la , lb , lc и стороны а, b, с любого треугольника связаны соотношениями

на указанном интервале положительна. Значит, обратная к функция f также непрерывная и возрастающая. Теперь равенства (14) можно переписать так: жtц = f з 2ч, и la ш
жt =fз 2 и lb жt =fз 2 и lc где t = p2 . Поскольку abc ++ = + + ppp ц ч, ш ц ч, ш = a +b+c = 1, p ц ч = 1. ш

(15)

получаем уравнение
жtц жt f з 2ч + f з 2 и la ш и lb ц жt ч+fз 2 ш и lc

a2 2 , la = bc 1 - 2 (b + c ) 2 b 2 , lb = ac 1 - 2 (a + c ) 2 c . lc2 = ab 1 - 2 (a + b ) Введя вспомогательные переменные , , , p : p = a + b + c, a , p b = , p c = , p =
равенства (12) запишем в таком виде:
2 la (1 - ) = p2, 1 - 2 2 2 lb (1 - ) = p2, 1 - 2 2

В его левой части стоит возрастающая функция, при t R 0 3 стремящаяся к 0, а при t R +? к . Значит, решение 2 уравнения t = t0 существует и единственно. Зная t = t0 , находим 0 , 0 и 0 из (15), затем находим t p0 из соотношения p = и, наконец, получаем a0 = 0 p0 ,
b0 = 0 p0 и c0 = 0 p0 . Таким образом, по длинам биссектрис la , lb , lc длины сторон а, b, с треугольника определяются однозначно. Теорема доказана. В этом месте читатель не найдет традиционного упражнения: 'постройте треугольник по трем его биссектрисам'. Располагая лишь классическим набором инструментов линейкой без делений и циркулем, выполнить такое построение невозможно. Это доказал в 1896 году П.Барбарин. С доказательством этого факта можно познакомиться в статье Ю.И. Манина [2].
Литература 1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 79. М.: Просвещение, 2001. 2. Манин Ю.И. О разрешимости задач на построение с помощью циркуля и линейки // Энциклопедия элементарной математики. Т. IV. М.: Наука, 1961. С.205227.

(12)

(13)

(14)

lc2 (1 - ) = p 2. 1 - 2
2

1 Несколько более длинные решения редакция получила от Ю.Томчука и Н.Осипова.