Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2003/01/39.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:16 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:30:32 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п

ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА

39

Комбинированные задачи по механике
В.ПЛИС

ется уравнением

k x2 - x1 - 8R?? = a2x - a1x = x - x1 - 8R , M2 6 m Ч 6m где M = = m так называемая приведенная масса m + 6m 7 системы шаров. Это уравнение описывает свободные гармонические колебания. Его общее решение имеет вид



x2 - x1 - 8 R = A cos t + B sin t ,

7k k = , а постоянные А и В можно найти из 6m M начальных условий
где =
x2 0 - x1 0 - 8 R = 0 = A,

О

физические вузы (МФТИ, МГУ, НГУ и др.) показывает, что задачи по механике, для решения которых следует привлекать не только законы сохранения или изменения физических величин, но и учитывать кинематические связи, выполнять переход из одной системы отсчета в другую, анализировать динамику системы тел наряду с динамикой того или иного тела в отдельности и т.д., вызывают затруднения у поступающих. Такие задачи иногда называют комбинированными. Зачастую они допускают несколько подходов к решению. Проиллюстрируем это на конкретных примерах достаточно сложных задач вступительных экзаменов по физике. Задача 1. Однородные шары радиусом R каждый находятся на гладкой горизонтальной спице (рис.1). К покоящемуся шару массой 6m прикреплена легкая пружина жесткостью k и длиной 6R. m 6m Шар массой m движется со скоростью v. Найдите максимальную деформацию Lm пружины и время Рис. 1 контакта шара массой m с пружиной. Рассмотрим три способа решения этой задачи. Первый способ В лабораторной системе отсчета ЛСО уравнения движения шаров в проекции на горизонтальную ось х принимают вид (рис.2)
ma1x = F x , 1 6ma2 x = F2 x .

ПЫТ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНОВ В ВЕДУЩИЕ

v2

x

0

- v1x 0 = -v = B.
6m sin t . 7k

Окончательно получим
x2 t - x1 t - 8 R = -v

Отсюда находим максимальную деформацию пружины:
Lm = v 6m . 7k

Шар массой m будет находиться в контакте с пружиной в течение половины периода гармонических колебаний:
= 6m = . 7k

Второй способ В ЛСО кинетическая энергия системы материальных точек равна mv2 Ek = е i i . 2 i Если ввести систему центра масс Ц-систему, то с учетом правила сложения скоростей H H H vi = vц + ui , H H где vц скорость центра масс в ЛСО, ui скорость i-й точки в Ц-системе, выражение для энергии можно преобразовать:
ж з и

Ek =

е
i

ц2 mi ч vц ш + 2

е
i

mui2 ж H i + з vц Ч 2 и

е
i

Hц miui ч . ш

x

x

Отсюда с учетом равенства F1x = - F2 x получим
1ц ж1 . a2 x - a1x = F2 x з + и 6m m ч ш

Последнее слагаемое в этом выражении равно нулю, так как в Ц-системе скорость центра масс равна нулю: H е mui i H uц = i = 0. е mi Полученное равенство
Ek =
i

Рис. 2

формация пружины равна

В момент времени t де-

L 0 - L t = 6 R - x2 - x1 - 2R = - x2 - x1 + 8 R ,
где L длина пружины. Упругая сила связана с деформацией пружины законом Гука:

ж з и

е
i

ц2 mi ч vц ш + 2

е
i

mui2 i 2

F2 x = k - x2 - x1 + 8R .
Тогда движение одного шара относительно другого описыва-

словами формулируется так (теорема Кенига): кинетическая энергия системы материальных точек равна сумме половины произведения массы системы на квадрат скорости ее центра масс и кинетической энергии относительного движения в Ц-системе. Чтобы применить эту формулу для решения нашей задачи,