Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2003/01/20.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:15 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:30:21 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: arp 220

КВАНT 2003/?1

казано на рисунке 4. На главной оптической оси получившейся системы на расстоянии 1 м от нее помещают точечный источник света, а с другой стороны системы экран. Как нужно расположить экран, чтобы освещенное пятно на нем имело минимальный диаметр? Чему он равен? А.Очков

Решения задач М1826М1830, Ф1838Ф1847
М1826. Про положительные числа а, b, с известно, что 1 a + 1 b+ 1 c ? a + b+ c . Докажите, что a + b + + c ? 3abc .
111 Умножая неравенство + + ? a + b + c на общий abc знаменатель, получаем равносильное неравенство bc + ac + ab ? a + b + c abc . Теперь докажем вспомогательное неравенство a + b + c2 ? 3 ab + bc + ca :

М1828. А, Б, В, Г и Д собирают почтовые марки. У А более 3/4 марок Б, у Б более 3/4 марок В, у В более 3/4 марок Г, у Г более 3/4 марок Д, у Д более 3/4 марок А. Докажите, A что есть марка, которая имеется у кажF дого филателиста.

N

M

Q L H I C B R



a-b

2 + b

-c

2 a +b +c
2 2 2 2

a + b + c ? ab + bc + ca Ы a + b + c2 + 2 ab + bc + ca ? 3 ab + bc + ca Ы
a + b + c



2 +
2

c-a
2

2
2

2



?0Ы ? 2 ab + bc + ca Ы

2

? 3 ab + bc + ca .

Отсюда легко получаем требуемое неравенство:



a+b+c

2

? 3 ab + bc + ca ? 3 a + b + c abc ,

a + b + c ? 3abc .

С.Злобин

М1827. Пусть Q произвольная точка окружности с диаметром АВ, QH перпендикуляр, опущенный на АВ (рис.1). Точки С и М это точки пересечения M окружности с центром Q и радиусом QH с первой Q окружностью. Докажите, что прямая СМ деC лит радиус QH пополам.
Проведем прямые СН и МН до пересечения с окружностью в точках F и R соответственно (рис.2). 1 Рис.1 Тогда РMCF = И MF = 2 = РMRF и РMCF = = РMHA , так как АН касательная; значит,
РRHB = РHRF, или AB 2 FR. В HRW угол РHWR = 1 = И QR = РQMH , но РQMH = РQHM (MQ = QH), 2 т.е. HRW равнобедренный и RI высота в HRW ( I = HW 1 RF ). Получим, что HI = IW, QH = HW. Пользуясь результатом задачи 'Проблема бабочки', видим, что IH = HL = IW = LQ, что и требовалось доказать. (О 'бабочках' см., например, книгу: Г.С.Коксетер, С.Л.Грейтцер 'Новые встречи с геометрией'.) В.Дубов
A H B

Сначала переведем усW ловие задачи на язык Рис.2 конечных множеств. Имеется пять конечных множеств А, Б, В, Г и Д; обозначим A 1 Б = Б1 , Б 1 В = В1 , В 1 Г = Г1 , Г 1 Д = = Д1 и Д 1 А = А1 . Также будем обозначать через |X| количество точек (мощность) множества Х. Известно, 3 3 3 3 что Б1 > Б , B1 > B , Г1 > Г , Д1 > Д и 4 4 4 4 3 А1 > А . Нужно доказать, что пересечение пяти 4 множеств А 1 Б 1 В 1 Г 1 Д не пусто. Докажем это методом улитки, ползущей по склону Фудзи. Полагаем для определенности, что множество А имеет максимальную мощность. Схема доказательства будет такой. По условию множество Д 'толсто' пересекается с множеством А. Затем мы обнаруживаем, что три множества Г, Д и А имеют тоже достаточно 'толстое' пересечение. Далее видим, что четыре множества В, Г, Д и А имеют пересечение еще достаточно 'толстое' для того, чтобы оно пересекалось непременно и с множеством Б. Но все по порядку. В силу того, что |A| максимально, а множества Д1 и А1 содержатся в Д, нетрудно убедиться в справедливости неравенства для множе1 ства F = Д1 1 А1 : F > A . При этом F М Г 1 Д 1 А . 2 3 Множества F и Г1 содержатся в Г, а Г1 > Г , зна4 1 чит, множество G = F 1 Г1 таково, что G > A . Да4 3 лее, множества G и B1 содержатся в В, а B1 > B . По4 этому мы заключаем, что множество H = G 1 B1 не пусто. Но Н содержится в множестве Б, а также, в силу процедуры, во всех других множествах В, Г, Д и А. Иначе говоря, непустое множество H М A 1 Б 1 В 1 1 Г 1 Д, т.е. утверждение доказано: есть такая марка! Непривычность таких выкладок для читателя связана с тем, что они теоретико-множественные и арифметические одновременно. Зато теперь вы можете обобщить задачу на n филателистов и доказать ее по той же схеме. 3 n-2 При этом роль числа будет выполнять число . 4 n -1 В.Произволов

М1829. Можно ли раскрасить все точки квадрата и круга в черный и белый цвета так, чтобы множества белых точек этих фигур были подобны друг другу и множества черных точек были подобны