Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2003/01/15.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:14 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:30:18 2012 Кодировка: Windows-1251

АБЕЛЬ

И

ЕГО

ВЕЛИКАЯ

ТЕОРЕМА

15

Всякий многочлен может быть единственным образом (с точностью до постоянных сомножителей) разложен в произведение неприводимых многочленов. Кроме того, если многочлен P ( x ) с коэффициентами из поля K имеет с неприводимым многочленом Q ( x ) общий корень (не принадлежащий полю K), то P ( x ) делится на Q ( x) . 3. Расширение поля. Пусть K некоторое числовое поле, P ( x ) неприводимый многочлен степени n над полем K, а корень (вообще говоря, комплексный) этого многочлена. Как было уже отмечено, П K . Обозначим через K ( ) множество всех чисел вида c0 + c1 + K + cn -1 n -1 , где c О K . Нетрудно доказать, что K ( ) является полем. Поле K ( ) называется простым алгебраическим расширением поля K. Например, присоединяя к полю 3 число 2 , получаем поле 3 3 2. Поле комплексных чисел + получается как расширение 4 (i) присоединением к полю 4 действительных чисел корня i многочлена x2 + 1. Комплексные числа имеют вид x + iy, где x и y действительные числа, а i2 = -1 , и изображаются точками на плоскости xOy. Их можно представлять в тригонометрической форме: x + iy = = x2 + y2 (cos + i sin ) , где 0 ? < 2 угол, образуемый положительным направлением оси Ox и лучом, проходящим через начало координат и точку ( x; y) , отсчитываемый против часовой стрелки. Для сокращения записи мы используем формулу Эйлера cos + i sin = ei , удобную при перемножении и возведении в степень:

щее корни произвольного неприводимого многочлена четвертой степени. Наличие формулы, выражающей корни уравнения степени n в радикалах, означает, что для всех многочленов данной степени существует единая схема (одинаковая для всех многочленов) построения цепочки таких расширений, дающая в конце концов возможность записать корни в виде x = f (a0 , a1,K , an ) , где функция f получается из коэффициентов с помощью конечного числа сложений, вычитаний, умножений, делений и извлечения корней. 4. Теорема Виета. Пусть x1, x2, K , xn корни многочлена p ( x ) = a0 x n + a1x Тогда p ( x ) = a0 ( x - x1 ) ( x - x2 ) K ( x - xn ) . Раскрывая скобки и приравнивая коэффициенты, получаем, что a 1 = x1 + x2 + K + xn = - 1 , a0 a 2 = x1x2 + x1x3 + K + xn -1xn = 2 , a0 ............................................... k = x1x2 K xk + x1x3 x4 K xk +1 + K K + xn n = ( -1)
n - k +1 n -1

+ K + an .

()
3

( 2 ),

присоединяя к 3 число

3

2 , получаем поле

K xn = ( -1)

k

ak , a0

ei Ч e

i

= ei

+

, e

()

i n

=e

in

.

Расширение K ( ) поля K называется радикальным, если оно получается присоединением корня неприводимого над полем K уравнения x n = a, т.е. числа n a , не принадлежащего полю K. Решить уравнение P ( x ) = 0 в радикалах значит построить цепочку последовательных радикальных расширений поля 3: 3 М K1 М K2 М ... М Kl рациональных чисел так, чтобы последнее поле в этой цепочке содержало корни многочлена P. Например, решение квадратного уравнения x2 + px + q = = 0, где p О 3 , q О 3 , сводится к построению поля 3 D , где D = p2 - 4q . Решение кубического уравнения x 3 + px + + q = 0, в силу формулы Кардано, сводится к последователь-

an a0 (здесь k сумма всевозможных произведений по k различных чисел из набора корней {x1, x2, K , xn } ). Функции 1, 2, K n называются основными симметрическими многочленами от x1, x2, K , xn . 5. Теорема о симметрических функциях. Пусть f ( x1,K , xn ) симметрический многочлен с коэффициентами из некоторого поля K, т.е. многочлен, не меняющийся при любых перестановках x1, x2, K , xn . Тогда существует многочлен с коэффициентами над полем K такой, что
f ( x1,K , xn ) = P (1, 2 , K
n

).

()

Тем самым всякий симметрический многочлен от корней многочлена есть многочлен от его коэффициентов. В частности, степенные суммы, т.е. выражения вида
k k k Sk = x1 + x2 + K + xn ,

ному присоединению к полю 3 чисел чисел q p3 q2 ,3 + + 2 27 4 Несколько более сложно
3

p3 q2 , а затем и + 27 4

-

-

q p3 q2 . + 2 27 4 строится расширение, содержа-

выражаются через коэффициенты a1, a2, K , an . Соответствующие формулы называются формулами Ньютона. Мы их здесь не приводим, так как нам нужен сам факт, а не конкретный вид этих формул. С другим доказательством теоремы Абеля можно ознакомиться по книге В.Б.Алексеева 'Теорема Абеля в задачах и решениях' (М.: МЦНМО, 2001).

'КВАНТ'
Такая задачка...
Я сдаю жилплощадь по цене 10 центов, или 0,1 доллара, за квадратный метр, объявила хозяйка обратившемуся к ней математику. Прекрасно, обрадовался клиент, но я хотел бы поселиться на этой жилплощади вместе со своей тещей. Ах, вот как! В таком случае ставка возводится в квадрат.

УЛЫБАЕТСЯ
Вы должны будете платить не 10, а 100 центов за квадратный метр. Но, позвольте! возразил математик. В таком случае вместо прежней цены 0,1 я должен буду платить всего лишь (0,1)2 = 0, 01 доллара за квадратный метр! Сколько на самом деле должен платить математик? М. Наумов