Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2003/04/54.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:33 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:32:30 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 43

#"

КВАНT 2003/?4

11. Существуют ли такие натуральные числа а, b и с, что у каждого из уравнений ax 2 + bx + c = 0, ax 2 + bx - c = 0 , ax 2 - bx + c = 0 , ax 2 - bx - c = 0 оба корня целые? (10) В.Клепцын 12. По ребрам выпуклого многогранника с 2003 вершинами проведена замкнутая ломаная, проходящая через каждую вершину ровно один раз. Докажите, что в каждой из двух частей, на которые эта ломаная делит поверхность многогранника, количество граней с нечетным числом сторон нечетно. (10) А.Заславский 13. Пусть P x многочлен со старшим коэффициентом 1, а последовательность целых чисел a1 , a2 , такова, что P a1 = 0 , P a2 = a1 , P a3 = a2 и т.д. Числа в последовательности не повторяются. Какую степень может иметь P x ? (10) Б.Френкин 14. Пусть М точка пересечения медиан в треугольнике АВС. На перпендикулярах, опущенных из М на стороны ВС, АС и АВ, взяты точки A? , B? и C? соответственно, причем A? B? ^ MC и A? C? ^ MB . Докажите, что М является ? точкой пересечения медиан также и в треугольнике AB?C?. (10) А.Заславский

15. Дан вписанный четырехугольник Q симметричны точке С относительно соответственно. Докажите, что прямая ортоцентр (точку пересечения высот) Н (11)

АВСD. Точки Р и прямых АВ и AD PQ проходит через треугольника ABD. А.Заславский

16. На берегу круглого острова Гдетотам расположено 20 деревень, в каждой живет по 20 борцов. Был проведен турнир, в котором каждый борец встретился со всеми борцами из всех других деревень. Деревня А считается сильнее деревни Б, если хотя бы k поединков между борцами из этих деревень закончились победой борца из деревни А. Выяснилось, что каждая деревня сильнее следующей за ней по часовой стрелке. Какое наибольшее значение может иметь k? (У всех борцов разная сила, и в поединке всегда побеждает сильнейший.) (11) И.Богданов 17. Дано равенство

a

m1

-1 K a



mn

-1 = a



k1

+1K a



kl

+1 ,



где а, n, l и все показатели степени натуральные числа. Найдите все возможные значения числа а. (11) В.Сендеров Публикацию подготовили А.Спивак, Б.Френкин

Избранные задачи Московской физической олимпиады
Первый теоретический тур 8 класс 1. Велосипедисту и автобусу нужно проехать из пункта А в пункт Б, расстояние между которыми 11 км. Они выезжают одновременно. Автобус, двигаясь со скоростью 60 км/ч, через каждый километр пути делает остановку на 2 мин. Велосипедист движется с постоянной скоростью, не останавливаясь. Какой должна быть скорость велосипедиста, чтобы он обгонял автобус на каждой промежуточной остановке между пунктами А и Б? О.Шведов 2. Алюминиевую болванку массой М = 108 кг нужно переправить на противоположный берег озера. В качестве 'плавсредства' можно использовать сосновое бревно с площадью поперечного сечения S = 0,034 м 2 . Болванка привязывается к бревну веревкой. Какова должна быть минимальная длина бревна L? Плотность алюминия a = 2700 кг м3 , плотность древесины д = 600 кг м3 , плотность воды в = = 1000 кг м3 . Сам переправляющий может плыть и тянуть бревно с болванкой за собой на веревке. С.Варламов 3. В сосуд, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, основание которого квадрат со стороной a = 10 см, налили V = 1 л воды с температурой t1 = 5 o C , после чего положили туда кубик льда массой m = 100 г с температурой t2 = 0 o C . Какими будут установившиеся температура, состав системы и уровень воды в сосуде? Удельная теплота плавления льда = 335 кДж/кг, удельная теплоемкость
3 o воды c = 4,2 кДж кг С , плотность воды в = 1 г см ,

плотность льда л = 0, 9 г см 3 . Теплоемкостью сосуда и теплообменом с окружающей средой пренебречь. О.Шведов 9 класс 1. Два корабля находятся в море и движутся равномерно и прямолинейно. Первый в полдень был в 40 милях севернее маленького острова и двигался со скоростью 15 миль в час в направлении на восток. Второй в 8 часов утра этого же дня был в 100 милях восточнее того же острова и двигался со скоростью 15 миль в час в направлении на юг. На каком минимальном расстоянии друг от друга прошли корабли, и в какой момент времени это случилось? С.Варламов

(

)