Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2003/04/49.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:33 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:32:27 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: carina

ПРАКТИКУМ

АБИТУРИЕНТА

49
y 32 28 20 12
y=x 6x + 9x 14 y=24x 6
!

= 0. Существенное отличие кубической параболы от обычной состоит в том, что она всегда пересекает ось Ох, иначе говоря, уравнение
x 3 + px 2 + q x + r = 0

(6)

имеет хотя бы одно действительное решение. Это следует из того, что функция (5) непрерывна, отрицательна при достаточно больших по модулю отрицательных значениях х и положительна при достаточно больших положительных значениях х. Возможно, кто-то из читателей знает о существовании так называемой формулы Кардано для корней кубического уравнения. Беда в том, что использовать эту формулу для решения конкретного уравнения удается только в исключительных, а точнее специально подобранных случаях. Рассмотрим, например, уравнение x 3 - 3x 2 - 16x + 48 = 0. В левой части его члены легко группируются: ( x - 3 ) x2 - - 16 = 0, поэтому x1 = 3 , x2,3 = +4. Между тем, строгое следование формуле Кардано приводит к такому результату:

y=6 3x



y=9x 14



4 3 2 0 8 12 1 P N (0;14) 20 28 32
Рис. 4

)

(

3

5

x

N(0;6)
y=14

x = 1 + 3 -15 +

28 3 28 3 i + 3 -15 i, 9 9

где i мнимая единица. Даже большой любитель математики вообще и действий с комплексными числами в частности не увидит в этой записи приведенных выше корней. Если число а является корнем уравнения (6), то по теореме Безу многочлен из левой части делится на (х а). Частным от деления будет многочлен второй степени, число его различных корней от 0 до 2, поэтому число различных корней уравнения (6) от 1 до 3.
Упражнение 1. Докажите, что всякая прямая у = kx + b пересекает кубическую параболу (5) хотя бы в одной точке.

y

y=x 3x + 2

!



Как и положено при исследовании функции и построении ее графика, отметим, что производная функции (5) равна
y = 3x 2 + 2 px + q .

5

(7)

График производной обычная парабола с ветвями, направленными вверх, и ее расположение определяется только дискриминантом D = 4 p2 - 3q . Если D < 0, то y > 0 при любых х, исходная функция возрастает на всей оси, имеет единственный корень, y ! y=x + x + 4x 6 а ее график похож на изображенный на ри10 сунке 3,а. Если D = 0, a) то у функции появляется точка, подозри6 б) тельная на экстремум единственный ко2 рень x0 правой части (7). Но сама правая 3 3 5x 1 0 1 часть при этом есть 2 3 ( x - x0 ) , слева и справа от x0 будет 6 y > 0 , так что возникшие подозрения не оправданы. Точка x0 10 замечательна только ! тем, что в ней касаy=x + 3x + 3x + 9 тельная к кубической Рис. 3 параболе горизонтальна, функция по-прежнему возрастает на всей числовой оси (напомним, что условие y ( x0 ) > 0 , достаточное для возрастания функции y = f ( x ) в точке x0 , не является необходимым). В рассматриваемом случае функция по-

3

y=x 3x 2

!



(

)

1 3 2 1 0 1 1 2 3 x

3

5

Рис. 5

прежнему имеет единственный корень, ее график похож на приведенный на рисунке 3,б и на график функции y = x 3 . 2 Последнее естественно, так как если y = 3 ( x - x0 ) , то 3 y = ( x - x0 ) + C , где C = const.