Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2003/04/47.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:33 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:32:26 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: незатухающие колебания

ПРАКТИКУМ

АБИТУРИЕНТА

47

K R E A L, r


Рис. 6

C IR E IL M A

Iп

Пусть в произвольный момент времени в элеменR тах цепи текут токи, изображенные на рисунке 7. B Через резисторы сопротивлением R в любой момент r будут протекать одинаковые токи IR это следует из закона Ома для контура ABDC. Через перемычD ку AB протекает ток Iп , через катушку индуктивности течет ток IL , а чеIR рез резистор r ток Ir . Для узлов A и B можно B записать закон сохранения Ir заряда: Iп + IL = IR

N

и
Ir = IR + Iп . Для контура ABNM мож-

Рис. 7

в цепи не приводит к изменению тока он остается нулевым. Сохраняется и энергия контура. Через четверть периода ток в контуре достигает максимального значения. Обозначим величину этого тока через Im . Энергию магнитного поля катушки выразим через поток ( = LI ): 1 2 . WL = 2L Поскольку = const , при малом изменении индуктивности изменение энергии катушки можно записать в виде I 2 L 2 L . WL = - =- m 2 2 2L Видно, что уменьшение индуктивности приводит к росту энергии магнитного поля. Подкачка энергии в контур будет происходить через временнПе отрезки, равные половине периода колебаний, т.е. через T 2 = LC . Между двумя соседними подкачками энергия колебательного контура будет уменьшаться за счет тепловых потерь в резисторе. Эти потери за время T/2 можно оценить как 12 WR = Im R LC . 2 Для поддержания незатухающих колебаний необходимо, чтобы поступающая энергия в контур была больше или равна тепловым потерям:

но записать закон Ома:

dI L L = r ( Ir - IL ), dt или, воспользовавшись соотношениями для токов, dI L L = 2rIп . dt
Перепишем это уравнение в виде
LdIL = 2rIп dt = 2r dq

WL WR ,
или
2 2 Im L Im R LC . 2 2

Отсюда получаем

и проинтегрируем:
Q

L R LC 9, 4 10-3 Гн .


0

dq =

L 2r

ILк 0



dIL .

Упражнения
1. В электрической схеме, параметры которой указаны на рисунке 9, в начальный момент ключи K1 и K2 разомкнуты. Сначала замыкают ключ K1 . Когда ток через катушку индуктивности достигает значения R2 L I0 , замыкают ключ K2 . Определите напряжение на K1 K2 катушке индуктивности сразу после замыкания ключа C K2 и напряжение на конR1 денсаторе в установившемE E ся режиме. Внутренним сопротивлением батареи пренебречь. 2. В схеме, изображенной Рис. 9 на рисунке 10, сверхпроводящие катушки с индуктивностями L1 и L2 соединены последовательно с конденсатором емкостью C. В начальный момент ключи K1 и K2 разомкнуты, а конденсатор заряжен до напряжения U0 . Сначала замыкают ключ K1 , а после того, K1 как напряжение на конденсаторе станет равным L2 K2 нулю, замыкают ключ U0 C K2 . Через некоторое время после замыкания ключа K2 конденсатор перезарядится до некоL1 торого максимального напряжения Um . Найдите ток через катушки непос- Рис. 10

Сразу после замыкания ключа ток через катушку индуктивности равен нулю. Поэтому нижний предел интеграла в правой части уравнения также равен нулю. Найдем верхний предел ILк , т.е. установившийся через катушку ток. Очевидно, что он будет равен E . ILк = R+r После интегрирования получим суммарный заряд, протекший через перемычку AB: LILк LE Q= = . 2r 2r ( R + r ) Задача 7. Для поддержания незатухающих колебаний в контуре с малым затуханием (рис. 8) индуктивность катушки быстро (по сравнению C с периодом колебаний в контуре) увеличивают на небольшую величину L ( L = L ) каждый раз, когда ток в цепи равен нулю, L R а через время, равное четверти периода колебаний, быстро возвращают в исходное состояние. Определите величину L , если -7 L = 0,15 Гн, C = 1, 5 10 Ф , R = Рис. 8 = 20 Ом. Если изменение индуктивности катушки происходит за малое время (по сравнению с периодом колебаний тока в контуре), то сохраняется магнитный поток , пронизывающий катушку. Увеличение индуктивности при нулевом токе