Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2003/04/45.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:33 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:32:24 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: 2df survey

ПРАКТИКУМ

АБИТУРИЕНТА

45
Um = U0 L2 . L1 + L2

ся до некоторого максимального напряжения. Чему будет равно это напряжение? После замыкания ключа K мы будем иметь колебательный контур, состоящий из заряженного конденсатора емкостью C и катушки индуктивностью L1 . Конденсатор начнет разряжаться, и когда напряжение на нем станет нулевым, начальная энергия конденсатора полностью перейдет в энергию магнитного поля катушки. Если в этот момент ток через катушку равен IL , то можно записать 2 CU0 L I2 = 1L. 2 2 Отсюда находим искомый ток: C IL = U0 L1 . Это максимальный ток через катушку индуктивностью L1 , затем он начнет уменьшаться, при этом часть его будет перезаряжать конденсатор, а часть потечет через катушку индуктивностью L2 . Пусть в некоторый момент через первую катушку течет ток I1 , а через вторую ток I2 . Тогда по закону Ома для контура, охватывающего обе катушки, можно записать dI dI L1 1 + L2 2 = 0 . dt dt Решение этого уравнения имеет вид
LI1 + L2 I2 = const . 1

Отсюда получаем

Задача 3. При разомкнутом ключе K (рис.3) конденсатор емкостью C = 20 мкФ заряжен до напряжения U0 = 12 B , ЭДС аккумулятора E = 5 В, C L индуктивность катушки L = = 2 Гн, D идеальный диод. + U0 E Каким будет максимальный

ток в цепи после замыкания ключа? Чему будет равно напряжение на конденсаторе в D установившемся режиме после замыкания ключа? K Поскольку в схеме находит- Рис. 3 ся катушка индуктивности, сразу после замыкания ключа ток в цепи будет равен нулю, затем будет происходить нарастание тока, и в некоторый момент он достигнет максимального значения. При максимальном токе в цепи ЭДС индукции в катушке будет равна нулю, и по закону Ома для замкнутой цепи напряжение на конденсаторе в этом случае должно быть равно ЭДС аккумулятора. Обозначим это напряжение через U1 (U1 = E ) и найдем величину максимального тока. Для этого воспользуемся законом сохранения энергии. За время установления максимального тока в цепи протек заряд
q = CU0 - СU1 = C (U0 - U1 ) .

Константу найдем из начальных условий. В тот момент, когда ток через катушку индуктивностью L1 был максимален и равен U0 C L1 , ток через катушку индуктивностью L2 был равен нулю, следовательно,

Для перемещения этого заряда против ЭДС аккумулятора необходимо совершить работу

A = qE = СE (U0 - U1 ) .
Наличие максимального тока Im в катушке приводит к появлению энергии магнитного поля 12 WL = LIm . 2 Разность энергий конденсатора в начальном и конечном состояниях равна сумме совершенной работы и энергии катушки: 1 1 12 2 2 CU0 - CU1 = A + WL = CE (U0 - U1 ) + LIm . 2 2 2 Отсюда находим
Im = (U0 - E

const = U0 L1C .
Тогда решение принимает вид
LI1 + L2 I2 = U0 L1C . 1

Когда напряжение на конденсаторе достигнет максимального значения, ток через конденсатор будет равен нулю, а через катушки будет течь общий ток, который обозначим через I12 . Используя предыдущее соотношение, можно записать

(
откуда

L1 + L2 ) I12 = U0 L1C ,

I12 =

U0 L1C . L1 + L2

)

C 0, 022 A . L

Пусть максимальное напряжение на конденсаторе равно Um . Поскольку в нашей цепи нет тепловых потерь, для любого момента времени мы можем воспользоваться законом сохранения энергии. Полная энергия цепи, очевидно, 2 равна CU0 2 . В тот момент, когда конденсатор перезарядится и напряжение на нем достигнет максимального значения, часть энергии будет сосредоточена в конденсаторе: 1 2 WC = CUm , 2 а остальная часть в катушках индуктивности:
WL =
2 1 1 LCU0 2 (L1 + L2 ) I12 = 2 L1 + L . 2 1 2

Теперь рассмотрим вопрос об установившемся значении напряжения на конденсаторе. После прохождения максимума ток в цепи будет уменьшаться и в конечном итоге станет равным нулю. Поскольку течь в обратном направлении ток не может (мешает диод), то установится стационарное состояние: ток равен нулю, а на конденсаторе имеется некоторое постоянное напряжение, которое обозначим через Uк . Это напряжение можно найти по закону сохранения энергии. За все время с момента замыкания ключа до установления стационарного состояния изменение энергии конденсатора пошло на работу по перемещению всего протекшего заряда против ЭДС аккумулятора: 1 1 2 2 CU0 - CUк = CE (U0 - Uк ) . 2 2 После простых преобразований это уравнение будет иметь вид (U0 - Uк ) (U0 - 2E + Uк ) = 0 . Такое уравнение имеет два решения. Первое решение Uк = U0

По закону сохранения энергии,
2 1 1 1 LCU0 2 2 1 . CU0 = CUm + 2 2 2 L1 + L2