Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2003/04/39.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:32 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:32:22 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п р р р р р р р р р р р р р р

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ

39

Принцип Ферма
А.СЕНДЕРИХИН
тельно в 1660 году сформулировал основной принцип геометрической оптики, называемый теперь принципом Ферма. Согласно этому принципу, из всех возможных путей между двумя точками свет выбирает тот, по которому время прохождения наименьшее. Отсюда следуют все основные законы геометрической оптики. Действительно, в однородной среде свет должен распространяться прямолинейно, поскольку прямая это кратчайшее расстояние между двумя точками, и, следовательно, время распространения наименьшее. Если же свет падает на границу раздела двух оптически различных сред (сред с разными показателями преломления, или с разными скоростями распространения света), то выполняются законы отражения и преломления света, которые тоже непосредственно вытекают из принципа Ферма. В более строгой формулировке принцип Ферма представляет собой так называемый вариационный принцип, утверждающий, что свет распространяется от одной точки к другой по линии, вдоль которой время его прохождения экстремально, т.е. или минимально, или максимально, или одинаково по сравнению с временами прохождения вдоль всех других линий. Обсудим несколько конкретных примеров, иллюстрирующих принцип Ферма. Отражение света Пример 1. Рассмотрим отражение света от плоского зеркала (рис.1; заслонка D исключает прямое попадание света из А в В). а) Докажем, что при выполнении закона отражения ACD = = = DCB свет распространяется по кратчайшей из D возможных траектоB A рий, а именно по линии АСВ. б) Выведем закон отражения света, ис ходя из того, что свет, отразившись от зеркала, распространяется по кратчайшей траекC E тории. Рис. 1 а) Выполним дополнительное построение D (рис.2): отметим на проA B должении перпендикуляра АМ о трезок MA = AM и соединим точку A с точками С и Е. Поскольку ACM = M M ? = ACM (как два E C прямоугольных треугольника с равными катетами), то ACM = = ACM . Так же ACM = BC M , отA? куда ACM = BCM. Рис. 2

Ф

РАНЦУЗСКИЙ МАТЕМАТИК ПЬЕР ФЕРМА ПРИБЛИЗИТ-

Значит, ACM = BCM . На основе обратной теоремы о накрест лежащих углах получаем, что линия ACB пря мая, т.е. кратчайшая линия. Но AC = AC и AE = AE , следовательно, A B lACB < lAEB . K б) Пусть точка Е своh бодно движется вдоль h MM (рис.3). Когда M? длина линии АЕВ ста- M x E новится минимальной, d выполняется закон отражения, т.е. AEK = Рис. 3 = BEK . Действительно, из рисунка 3
l
AEB

=l

AE

+ lEB =

x 2 + h2 +

(

d-x

)2

+ h2 .

Запишем необходимое условие минимума: dlAEB =0, dx или
d 2 x + h2 + dx

(
=

d-x x
2

)

2

+ h2 =
2

x +h

-

d-x

Но поэтому

(

d-x

)

2

+h

2

=

x d-x - =0. l1 l2

x d-x = sin и = sin , l1 l2 sin = sin , и = .

Что экстремум будет именно минимумом, можно показать взятием второй производной или каким-либо еще способом. Пример 2. Пусть свет D B A отражается от вогну того сферического зеркала, выполненного в виде полусферы радиусом R. Выведем закон отражения света для E этого случая при условии, что свет, распросC траняясь от точки А к Рис. 4 точке В, выбирает экстремальную по длине траекторию (рис.4; заслонка D исключает прямое попадание света из А в В). Исследуем характер этого экстремума. Согласно рисунку 4,
l
AEB

=l

AE

+ lEB = 2 R cos + 2 R sin ,

т.е. искомая длина является функцией угла . Условие экстремума реализуется при dlAEB =0, d или d (2 R cos + 2 R sin ) = 2R (- sin + cos ) = 0 , d откуда получаем

sin = cos , и = 45o .
Это означает, что точка Е при истинной траектории должна