Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2003/04/07.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:30 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:32:04 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п

ГЕОМЕТРИЯ

ВЫПУКЛОСТИ

7

и смог вернуться в Австрию только в 1921 году. Доказательство Хелли этой теоремы вышло в свет лишь в 1923 году. А Радон нашел другое доказательство, основанное на его собственной теореме. Радоновское доказательство теоремы Хелли вышло из печати в 1915 году.

Теорема Фенхеля Моро
Перейдем теперь к теории выпуклых функций. Будем рассматривать функции одного переменного. Проведем на нашей евклидовой плоскости горизонтальную прямую и перпендикулярную ей вертикальную прямую. Точку пересечения этих прямых обозначим буквой О. Прямые на плоскости делятся на две группы: те, которые пересекают вертикальную прямую, и те, которые ей параллельны. Невертикальные прямые, проходящие через я точку О, это графики ци линейных функций нк у яф (рис.10). А вообще нея f(x) на ци ин нк вертикальные прямые фу фф А на плоскости это граая н ей фики функций, которые ин Л называют аффинными. x O Любое множество на плоскости, которое вмеРис.10. Что такое выпуклая функция сте с любой своей точкой содержит весь луч, исходящий из этой точки и идущий параллельно вертикальной прямой 'вверх', называется надграфиком функции f, которая каждой точке вертикальной прямой ставит в соответствие нижнюю точку f x надграфика, проектирующуюся в заданную точку x. Функция называется выпуклой, если ее надграфик выпуклое множество, и замкнутой, если он замкнутое множество.
Вы фунпукла кци я я
Упражнение 6. Приведите пример функции с выпуклым, но не замкнутым надграфиком.

'ниже' (рис.11). Прямая B H0 , строго отделяющая B от А, не может быть B вертикальной (ибо верA тикальная прямая, проходящая через точку B , 0 проходит и через В, а B C надо, чтобы они были строго отделены). ЗнаB чит, она график аффинной функции. Предположим теперь, 0 что надграфик A1 функции, являющейся пересе- Рис.11. Теорема ФенхеляМоро чением надграфиков аффинных функций, расположенных под множеством А (ясно, что он содержит А), не совпадает с А. Следовательно, существует точка B1 из A1 , не принадлежащая А. Прямая H1 , отделяющая B1 от А, не может быть графиком аффинной функции, ибо тогда получалось бы противоречие с построением множества A1 . Значит, она вертикальна. Прямая H0 не может лежать 'над' точкой B1 (ибо тогда мы пришли бы к тому же противоречию). Так как прямая H0 невертикальна, она пересекает вертикальную прямую (невертикальная прямая не может быть параллельна вертикальной). Пусть С точка пересечения H0 и H1 . Возьмем точку B1 'выше' B1 и проведем прямую через С и B1 . Она невертикальна и лежит под А выше B1 . Противоречие доказывает теорему.
Заключительные замечания 1. При выводе теоремы Фенхеля Моро нам, по сути дела, удалось доказать больше, чем мы обещали. Рассмотрим ту же плоскость с горизонтальной осью (на этот раз числовой) и вертикальной осью, проходящей через начало координат. В качестве аффинных функций рассмотрим суммы экспонент Ce x + C2e - x . Нетрудно убедиться в том, что это семей1 ство функций имеет много свойств обычных аффинных функций. В частности, через любые две точки плоскости проходит единственная 'экспоненциальная' аффинная функция. Естественным образом определяется 'экспоненциально выпуклая функция' (т.е. функция, надграфик которой вместе с двумя точками содержит весь 'экспоненциальный отрезок', соединяющий эти точки). Невыпуклое в обычном смысле множество надграфик функции y = e x - e - x (рис.12) y экспоненциально выпукло. N `N Если же проанализировать наше Yy =e e доказательство, то можно убедиться, что доказан следующий результат: для того чтобы x O функция была верхней гранью экспоненциально аффинных, необходимо и достаточно, чтобы она была экспоненциально выпуклой и замкнутой. 2. Нами были доказаны некоРис. 12. Экспоненциально выторые теоремы плоской выпук- пуклое множество лой геометрии. Следует сказать при этом, что почти без изменений доказательства переносятся на конечномерный евклидов случай любой размерности, а некоторые результаты на бесконечномерный случай.

Имеет место следующая важная теорема одна из основных в выпyклoм анализе функций. Теорема (Фенхель Моро). Для того чтобы надграфик функции был пересечением надграфиков аффинных функций, необходимо и достаточно, чтобы сама функция была выпуклой и замкнутой.
Эта теорема была доказана в конечномерном случае немецким математиком В.Фенхелем в 1949 году, а в бесконечномерном случае французским математиком Ж.Моро в 1960 году.

Доказательство. В одну сторону теорема следует из определений: если надграфик функции является пересечением надграфиков аффинных функций, надграфик функции выпуклый и замкнутый. Если надграфик пуст (на языке функций это означает, что функция принимает значение, тождественно равное бесконечности), то утверждение теоремы очевидно: надо взять в качестве аффинных функций всевозможные константы (их графики параллельны горизонтальным прямым). Пусть надграфик А непуст и точка В принадлежит его границе. Тогда можно взять точку B на той же вертикальной прямой, что и В, но