Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/03/57.pdf
Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:54 2005
Дата индексирования: Tue Oct 2 00:17:24 2012
Кодировка: Windows-1251
Поисковые слова: m 31

ОТВЕТЫ,
Уравнения Пелля

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ

#%
k + dn + k ,

Значит, если k = t 2m m + d , то

1. Рассуждайте по индукции. 2. Обозначим через fn количество способов пройти расстояние длиной n шагов. Очевидно, f 0 = 1 (никуда не ходить можно единственным способом) и f1 = 2 (можно сделать либо шаг вперед, либо два шага вперед и шаг назад). Пройти n + 2 шага можно трояко: либо пройти сначала n + 1 шаг и сделать шаг вперед, либо пройти n шагов и сделать два шага, либо пройти n + 1 шаг, а затем сделать два шага вперед и шаг назад. Значит, f n + 2 = f n +1 + f n + f n +1 = 2 f n +1 + f n . Ответ: f 7 = 408. 2 2 3. Если a - db = +1, то

m+d + m

n

=

s2 + t2m m + d =

что и требовалось. Можно решить задачу и по-другому. Обозначим A = m + m + d . Рассмотрим функцию y = x + d n + x . Она непрерывна, а ее значение в точке x = 0 меньше числа A n . Поскольку эта функция стремится к бесконечности при x + , то существует такое x, что

x + d n = An - x .
Возведя обе части последнего равенства в квадрат, получим после упрощения
ж d An - з з з m+d + m и A2 n - d n = x= 2 2 An ц ч ч ч ч ш
n

1 a +b d

=

Обратно, пусть числа x и y целые. Рассмотрим равенство

e

a -b d a-b d a+b d

je

j

=

a-b d a - db
2 2

= + a -b d .

e

j

=

e

a+b d x+y d =1

je

j

=

m+d + m

-
n

m+d- m

и сопряженное к нему

2

n

,

e

a - b d x - y d = 1.
2 2

je

j

Перемножив эти равенства, получаем откуда a - db = +1. 4. а) x2 n + y2 =
2 2

e

a - db

je

x - dy

2

2

j

= 1,

1

+2

n2

n

2 = 1 + 2
n

= xn + yn 2

2n

=

2

2 2 = xn + 2yn + 2xn yn 2 . Поскольку n 2 2 = 2xn - -1

2 2 xn - 2yn = - 1 , то x2 n + y2

5. а) 1 + 2

n

n

+ 2 xn yn 2 .
n

= xn + yn 2 =

x + 2y =

2 n

2 n

2 x + xn - -1 . 2 n

б) Пусть n нечетно. Возведя число пень и воспользовавшись тем, что ральные числа, получим равенство

m + d + m в n-ю сте-

m+d

2

и

m

2

откуда уже легко вывести, что x натуральное число. n + n2 - 4 удовлетворяет равенству в) Число x = 2 1 x + = n. Положим km = xm + 1 . Тогда x xm ж 1ц ч km +1 = km з x + ч - km -1 = nkm - km -1 . Поскольку числа k0 = 2 з з xч и ш и k1 = n натуральные, при помощи индукции легко доказать, что все числа km натуральные. Решая квадратное уравнение, 2 k + km - 4 . Поскольку x 1 , то нужно взять находим x m = m 2 знак 'плюс'. 6. Нет. Если бы такие числа a, b, c и d существовали, то при помощи перехода к сопряженным числам мы получили бы
0 ? a - b 2

нату-

+ c
2

-d 2

2

= 7 - 5 2 < 0.

Перемножим:

m+d + m

n

= s m+d +t m , m на - m , полу-

7. а) Первый способ. Пусть 5 + 3 2

m

= 3 + 5 2 . Переход
n

где s и t натуральные числа. Заменив чим сопряженную формулу:
m+d- m

к сопряженным числам дает равенство 5 - 3 2
5 2 - 3 > 1.

m

= 3 - 5 2 ,
n

n

= s m + d -t m .

которое противоречит неравенствам 0 < 5 - 3 2 < 1 и Второй способ. Если 5 + 3 2

dn = m + d - m = s m + d + t m s m + d - t m =
n

m

= 3 + 5 2

n

, то и

5
2

-3 2

m

= 3 - 5 2

n

. Перемножив эти равенства, получим

= s m + d - t m .
2

n n 25 - 9 Ч 2 = 9 - 25 Ч 2 , т.е. 7m = -41 , что невозможно.

m

Таким образом, достаточно положить k = t 2 m при этом

m+d + m

n

=

s m + d +
2

t m = k+d + k .

2

n

Решение для четных n аналогично:

б) Пусть для определенности a < b. Тогда 1 < b + a d < a + b d , и поэтому m < n. Перейдя к сопряженным числам и разделив почленно полученное при этом равенство на исходное, получим
a-b d a+b d
m

Следовательно,

m+d + m

n

= s + t m m + d ,
m на - m , полу-

где s, t натуральные числа. Заменив чим

=

b-a d b+a d

n

. и =
a d -b b+a d

m+d - m
n

n

= s - t m m + d .

Сравним теперь величины ч =

b d-a

a+b d этого достаточно сравнить числа

. Для

dn = m + d - m =
= s + t m m + d s - t m m + d = s2 - t2m m + d .

b

d - ab + a d

и

a

d - b a + b d .
2

Первое из них равно ab d - 1 + b 2 - a

d , а второе равно