Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/03/45.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:54 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:13:44 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: заряд

ФИЗИЧЕСКИЙ

ФАКУЛЬТАТИВ

45

(В стационарном состоянии эта сила уравновешивается кулоновской силой, возникшей из-за разделения зарядов под действием центробежных сил инерции.) Поэтому

равно, например, половине наибольшего значения, достига2 емого на экваторе (см. выражение (2)): wc ; a 2 . Умножим его на массу полусферической тонкой оболочки
2 4 a ш 2 , где ш плотность материала шарика (стекла). Тогда условие сохранности шарика запишется в виде

E =

F e

=-

me a e

2

cos sin .

Знаки 'минус' в двух последних формулах говорят о том, что и касательная составляющая центробежной силы, и тангенциальная составляющая возникшего электростатического поля направлены против роста широтного угла . Этого уже достаточно, чтобы оценить масштаб разделения зарядов на поверхности шарика. Как известно, поверхностная плотность заряда равна разности нормальных компонентов электрического поля по обе стороны от поверхности, умноженной на электрическую постоянную 0 . Вполне понятно, что формулы для нормальных компонентов будут 2 иметь тот же размерный множитель m e a , что и тангенциальные (им просто больше не от чего зависеть), только безразмерная зависимость от угла будет, скорее всего, другой. Поэтому можно ожидать, что поверхностная плотность заряда будет порядка

4 a 2
откуда

2

ш



a 2
2f

2

Щf

max

2 a ,

Щ

2

шa

max 2

;a .

-2

(4)

;

m

e

e

2 a 0 .

Но для того чтобы полюсы приобрели хотя бы по одному положительному заряду, равному e, к экватору должна быть отброшена хотя бы пара электронов тогда уже и возникнет обещанный квадруполь. Это значит, что угловая скорость должна быть больше определенной минимальной величины. Полагая для оценки, что этим двум электронам отведен 2 экваториальный пояс площадью порядка a , получим
0a ;
2

(Интересно, что результат не зависит от толщины оболочки .) 2 Неравенства (3) и (4) 3 определяют нашу 'рабо~a чую зону', в которой шарик уже стал квадруполем, но еще не разрушает2 ся (она заштрихована на ~a рисунке 5). Найдем точку пересечения a& соответствующих 'кривых' в предельном случае, когда неравенство заменяется раa a* венством (конечно, это не совсем линии, а скорее раз- Рис. 5 мазанные полосы ведь мы делаем грубые оценки по порядку величины). Итак,
2e
2 3

m e a e 2e
2

2

0

a Ъ 2e ,

2

m e 0 a&

;

2f

max 2 a ш&

, и a& ;

e

2

ш max

me 0 f

.

откуда
Ъ
2

me 0 a

3

;a .

-3

(3)

Осталось сделать численные оценки. Фундаментальные -19 -31 константы известны: e = 16 10 , кг , , Кл , me = 91 10 -12 2 2 0 = 8,85 10 Кл Н м . А что это за стекло, из которого сделан шарик? Поискав в таблицах, примем ш 3 3 9 2 , 25 10 кг м , fmax ;10 Н м . (Например, в справочнике 'Таблицы физических величин', изданном в 1976 году под редакцией И.К.Кикоина одного из основателей журнала 'Квант', что приятно вспомнить, для стеклянного волокна указано предельное напряжение на разрыв, 9 2 равное 21 10 Н м . Конечно, эта характеристика зави, сит от технологии производства стеклянного изделия, в том числе и елочного шарика. Поэтому для оценки мы приняли, из соображений осторожности, вдвое меньшую величину.) Подставив эти числа в последнюю формулу, -2 получим a& ;10 м = 2 см . А соответствующее значение угловой скорости можно найти из любого из выражений 5 -1 (3) или (4): & ;10 c , что для частоты вращения дает

С другой стороны, при слишком большой скорости вращения шарик будет разорван центробежными силами инерции. Оценим и эту угловую скорость. Мысленно разделим шарик пополам и заменим одну из половин силами f, распределенными по поверхности кольца и отнесенными к единице площади этой поверхности (рис.4). Размерность величины f 2 есть Н м , т.е. f представляет собой механическое напряжение. Если оно достигает преf дела прочности на разрыв fmax , шарик разрушается. Эти силы, обеспечивающие прочность шарика (силы упругосN ти), приложены к площади F1/2 2a , где толщина оболочки шарика (мы считаем, что она много меньше его радиуса а). Значит, суммарная сила равна f 2a . Она уравРис. 4 новешивается равнодействующей F1 2 всех центробежных сил инерции, действующих на элементы полусферы. Эти центробежные силы изменяются от экватора до полюса, и мы знаем каким образом (см. выражение (1)). Так что можно было бы проинтегрировать их по поверхности полусферы и найти равнодействующую. Но мы не будем здесь этим заниматься, а снова сделаем оценку по порядку величины. Примем, что среднее (по поверхности шарика) значение центробежного ускорения

e

j

& = & 2 ;10 Гц , т.е. 104 оборотов в секунду. Похоже, что реальный елочный шарик можно-таки сделать электрическим квадруполем путем его вращения. И тут Тин Эйджер вспомнил, что шарик можно не только равномерно вращать вокруг фиксированной оси, но и скатывать по наклонной плоскости с углом без проскальзывания, а значит, с ускорением g sin . Э, брат, подумал наш герой, да ведь это будет уже не электростатика, а целая электродинамика! Но тут наступил Новый Год, и настала пора заниматься подарками.

bg

4