Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/03/29.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:53 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:13:35 2012 Кодировка: Windows-1251

ШКОЛ В ШКОЛА А В ' К В А Н Т Е ' 'КВАНТЕ'

29

Физика 911 Публикуемая ниже заметка 'Похожие движения' предназначена девятиклассникам, заметка 'Преобразование электрических цепей' десятиклассникам и 'Разрешающая способность измерительных приборов' одиннадцатиклассникам.

массой m под действием силы

F = ma = - m

Сила, пропорциональная координате, называется гармонической, а движение под действием такой силы гармоническим колебательным движением. Введем вместо линейной скорости угловую: = v R . Тогда = t , и
x = R cos t ,

Fv I GH R JK
2 2

x.

Похожие движения
Я.СМОРОДИНСКИЙ
торые хотя и различны по природе, но описываются одними и теми же формулами. Поэтому, если мы выясним, как меняются какие-то величины при одном движении, можно сделать выводы для аналогичных. Расскажем о двух таких движениях. Гармонические колебания. Между движением по окружности и гармоническим колебанием можно установить полезное соответствие. Рассмотрим материальную точку, которая движется равномерно по окружности. Ее скорость равна v и направлена по касательной к окружности. Если радиус окружности R, то центростремительное ускорение точки равно v2 R и направлено по радиусу к центру (рис.1). Посмотрим, как движется проекция точки на диаметр окружности. Из рисунка ясно, что если положение точки на окружности задается угv лом , то положение ее проекции определяется координатой u
v R R a x X

u = R sin t ,
a = - R cos t .
2

С

УЩЕСТВУЕТ РЯД МЕХАНИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ, КО-

Таким образом, мы получили все характеристики гармонического движения. Отсюда можно сделать вывод, что проекцию точки на окружности можно заменить реальной частицей, движение которой будет описываться полученными выше формулами. Напомним, что входящие в уравнение второго закона Ньютона величины F и a векторные. Следовательно, их можно спроектировать на любое направление, и зависимость между проекциями будет тоже описываться законом Ньютона. Туннель в Земле. Покажем, что на точку, находящуюся внутри Земли, также действует гармоническая сила. Пусть материальная точка m массой m находится на расR стоянии r от центра Земли. r Если r больше радиуса Земли R, то на точку со стороны Земли действует сила тяготения , 2 r где G гравитационная поРис. 2 стоянная, а М масса Земли. Если же r < R, то действие, которое оказывает на точку Земля, можно разбить на две части (рис.2): действие внутренней сферы (радиусом r) и действие внешнего сферического слоя. Как известно, сферический слой не создает внутри себя поля тяжести. Поэтому на точку будет действовать только внутренняя часть, масса которой равна
F=G Mm

x = R cos .
Проекция скорости на диаметр равна
u = - v sin ,

M

вн

=

4 3

r ,

3

а проекция ускорения
Рис. 1

где плотность Земли, с силой тяготения
F = -G M вн m r
2

a=-

v

2

R

cos .

= -G

4 m 3

r.

Из первой и третьей формул легко получить, что
a=-

Fv I GH R JK
2 2

x.

С таким же ускорением двигалась бы материальная точка
Опубликовано в 'Кванте' ?9 за 1971 год.
8 Квант ?3

Следовательно, внутри Земли на точку действует гармоническая сила, пропорциональная расстоянию от центра Земли. Движение точки внутри Земли, например в туннеле, оказывается похожим на движение тела, подвешенного к пружине, упругая сила пружины также пропорциональна ее растяжению. Теперь мы можем решить такую задачу. Допустим, что через центр Земли прорыт узкий туннель (рис.3). В него из точки А уронили (без начальной скорости) камень. Камень