Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/03/19.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:52 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:22:06 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п

М1823*. Пусть f x кубический многочлен. Предположим, что при любом натуральном n число f n является кубом целого числа. Докажите, что 3 f x = ax + b для некоторых целых чисел а, b.

>C
?

ЗАДАЧНИК

'КВАНТА'

19

>C >

C

>C

М1824. Пусть A1 x1, y1 , K, An x n , yn различные n?2, точки координатной плоскости, ж x + K + xn y1 + K + yn ц ч , Mз 1 ч их центр масс. Обоз ч з n n и ш значим через С центр круга наименьшего радиуса r, в котором содержатся точки A1,K, An , а через d расстояние между точками М и С. Докажите, что d n-2 . r n И.Протасов, Г.Радзиевский М1825*. Поверхность куба размером 5 Ч 5 Ч 5 можно естественным образом оклеить 150-ю бумажными квадратами размером 1 Ч 1 каждый. При этом любая грань куба будет оклеена 25-ю бумажными квадратами. Докажите, что поверхность этого куба можно оклеить нашими бумажными квадратами так, что никакая его грань не будет оклеена 25-ю из них.
В.Произволов

D

?

D

Н.Осипов

молекулой жидкости. Оцените вероятность 'прилипания', если известно, что при +20 њC в условиях низкой влажности уровень воды в блюдце понижается за минуту примерно на 1,5 мм. Давление насыщенных паров при этой температуре составляет приблизительно 2 кПа. А.Паров

Ф1828. Моль гелия расширяется при неизменной температуре T0 = 300 К в заданных пределах, получая при этом от внешних тел количество теплоты Q = = 20 кДж. Оцените работу газа при расширении в тех же пределах, но без подвода тепла извне.
А.Диабатов

Ф1823. В поле, на расстоянии 1 км от прямой дороги, стоит и размышляет профессор Очков, большой знаток геометрической оптики. На расстоянии 2 км от ближайшей к профессору точки дороги А находится железнодорожная станция Ж. Скорость при ходьбе по полю равна 3 км/ч, по дороге 4 км/ч. За какое минимальное время профессор может добраться до станции? А за какое время он смог бы добраться до середины отрезка АЖ? А.Очков Ф1824. На большой плоскости построена стена высотой 30 м. На расстоянии 30 м от стены на уровне земли расположена игрушечная пушка, а мишень установлена на расстоянии 80 м от пушки на прямой, перпендикулярной стене. При какой скорости снаряда возможно попадание?
А.Стрелков

Ф1829. Простейший прибор для измерения сопротивления (омметр) состоит из последовательно соединенных батарейки, миллиамперметра и реостата (его часто называют переменным резистором или потенциометром). Измеряемый резистор подключают к выводам этой цепи. Перед началом измерений прибор настраивают замыкают накоротко выводы цепи (это соответствует нулевому сопротивлению измеряемого резистора) и реостатом устанавливают стрелку миллиамперметра на конец шкалы. В нашем случае настроенный прибор при сопротивлении резистора R1 = 500 Ом отклоняется на 3/4 шкалы, а при сопротивлении R2 = 1500 Ом на 1/2 шкалы. В каком месте шкалы у нашего омметра должно стоять отметка 1 кОм? А 300 Ом? Какое сопротивление еще можно измерять нашим прибором со сколь-нибудь разумной точностью, если суммарная погрешность измерений тока лежит в пределах +2 деления шкалы (всего на шкале миллиамперметра 100 одинаковых делений)?
А.Простов

Ф1825. На гладком горизонтальном столе находится куб массой M = 2 кг, на его верхней грани лежит большой легкий лист бумаги, на нем кубик массой m = 1 кг. Лист бумаги тянут с горизонтальной силой F = 15 Н. Коэффициент трения между бумагой и каждым из кубов ч = 0,7. Найдите ускорения каждого из тел. А какими будут ускорения при силе F1 = 10 Н? Р.Александров Ф1826. На гладкой горизонтальной плоскости находится клин массой M с углом при основании. На клине удерживают неподвижно тонкий обруч массой m. Трение между обручем и поверхностью клина велико. Обруч отпускают, и он начинает двигаться по клину без проскальзывания. Найдите скорость клина в тот момент, когда центр обруча опустится на h. Р.Обручев Ф1827. Молекула водяного пара при попадании в воду может отразиться, а может и 'прилипнуть' стать
5*

Ф1830. Для определения емкости C конденсатора большой емкости применяется следующий метод. Конденсатор заряжают до напряжения батарейки, а затем разряжают его несколько раз при помощи конденсатора известной емкости C0 = 10 мкФ, который каждый раз присоединяют к выводам батарейки, а затем подключают параллельно выводам конденсатора емкостью C в противоположной полярности 'плюсом' к 'минусу'. Так повторяют определенное число раз, а затем проверяют остаточный заряд конденсатора емкостью C, подключая к нему микроамперметр. После 8 повторов максимальное отклонение стрелки составило 10 делений. В следующем опыте после 9 повторов стрелка отклонилась на 20 делений в другую сторону. Определите по этим данным емкость C.

З.Рафаилов

Ф1831. Источник переменного напряжения U = = U0 cos t подключен к последовательно соединенным конденсатору емкостью C = 1 мкФ и катушке индуктивностью L = 1 Гн. Вольтметр, присоединенный к источнику, показывает напряжение U1 = 1В, а если подключить его к катушке, он покажет U2 = 100 В. Какой может быть частота источника ? Элементы цепи считайте при расчете идеальными. А если катушка намотана проводом, имеющим сопротивление, то при каком его сопротивлении описанное выше возможно?
А.Зильберман