Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/03/kv0302smorodinsky.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:50 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:38:12 2012 Кодировка: Windows-1251

ШКОЛ В ШКОЛА А В ' К В А Н Т Е ' 'КВАНТЕ'

29

Физика 911 Публикуемая ниже заметка 'Похожие движения' предназначена девятиклассникам, заметка 'Преобразование электрических цепей' десятиклассникам и 'Разрешающая способность измерительных приборов' одиннадцатиклассникам.

массой m под действием силы

F = ma = - m

Сила, пропорциональная координате, называется гармонической, а движение под действием такой силы гармоническим колебательным движением. Введем вместо линейной скорости угловую: = v R . Тогда = t , и
x = R cos t ,

Fv I GH R JK
2 2

x.

Похожие движения
Я.СМОРОДИНСКИЙ
торые хотя и различны по природе, но описываются одними и теми же формулами. Поэтому, если мы выясним, как меняются какие-то величины при одном движении, можно сделать выводы для аналогичных. Расскажем о двух таких движениях. Гармонические колебания. Между движением по окружности и гармоническим колебанием можно установить полезное соответствие. Рассмотрим материальную точку, которая движется равномерно по окружности. Ее скорость равна v и направлена по касательной к окружности. Если радиус окружности R, то центростремительное ускорение точки равно v2 R и направлено по радиусу к центру (рис.1). Посмотрим, как движется проекция точки на диаметр окружности. Из рисунка ясно, что если положение точки на окружности задается угv лом , то положение ее проекции определяется координатой u
v R R a x X

u = R sin t ,
a = - R cos t .
2

С

УЩЕСТВУЕТ РЯД МЕХАНИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ, КО-

Таким образом, мы получили все характеристики гармонического движения. Отсюда можно сделать вывод, что проекцию точки на окружности можно заменить реальной частицей, движение которой будет описываться полученными выше формулами. Напомним, что входящие в уравнение второго закона Ньютона величины F и a векторные. Следовательно, их можно спроектировать на любое направление, и зависимость между проекциями будет тоже описываться законом Ньютона. Туннель в Земле. Покажем, что на точку, находящуюся внутри Земли, также действует гармоническая сила. Пусть материальная точка m массой m находится на расR стоянии r от центра Земли. r Если r больше радиуса Земли R, то на точку со стороны Земли действует сила тяготения , 2 r где G гравитационная поРис. 2 стоянная, а М масса Земли. Если же r < R, то действие, которое оказывает на точку Земля, можно разбить на две части (рис.2): действие внутренней сферы (радиусом r) и действие внешнего сферического слоя. Как известно, сферический слой не создает внутри себя поля тяжести. Поэтому на точку будет действовать только внутренняя часть, масса которой равна
F=G Mm

x = R cos .
Проекция скорости на диаметр равна
u = - v sin ,

M

вн

=

4 3

r ,

3

а проекция ускорения
Рис. 1

где плотность Земли, с силой тяготения
F = -G M вн m r
2

a=-

v

2

R

cos .

= -G

4 m 3

r.

Из первой и третьей формул легко получить, что
a=-

Fv I GH R JK
2 2

x.

С таким же ускорением двигалась бы материальная точка
Опубликовано в 'Кванте' ?9 за 1971 год.
8 Квант ?3

Следовательно, внутри Земли на точку действует гармоническая сила, пропорциональная расстоянию от центра Земли. Движение точки внутри Земли, например в туннеле, оказывается похожим на движение тела, подвешенного к пружине, упругая сила пружины также пропорциональна ее растяжению. Теперь мы можем решить такую задачу. Допустим, что через центр Земли прорыт узкий туннель (рис.3). В него из точки А уронили (без начальной скорости) камень. Камень


30
)

КВАНT$ 2002/?3

долетает до точки В и начинает падать обратно, опять долетает до точки А и начинает падать к точке В, и так далее. Как найти период таких колебаний? Фактически, эту задачу мы уже решили. Движение камня в туннеле можно рассматривать, как движение проекции точки, вращающейся вокруг Земли у ее поверхности, н апример * спутника на круговой орбиРис. 3 те вблизи Земли. Поэтому частота колебаний камня в туннеле равна угловой частоте вращения спутника вокруг Земли. Так как центростреми2 тельное ускорение спутника a = R (расстояние от спутника до поверхности Земли h?R ) и, с другой стороны, a = F/m, то угловая частота равна

=

a R

=

F mR

=G

4 mR 3mR 3 G

=G

4 3

.

Период колебаний, следовательно, равен

T=

2

=

.

) Отметим, что эта формула определяет и период колебаний тел в туннеле, проведенном через Землю в любом J J направлении (не обязательJ но через центр). Это следует из приведенного выше утверждения о том, что уравJ J нение Ньютона остается спраJ J! J! ведливым, если входящие в него векторные величины заJ! менить их проекциями на любое направление. Однако Рис. 4 можно провести доказательство и непосредственно, заметив, что хорда во столько же раз меньше диаметра, во сколько проекция силы на направление хорды меньше самой силы. Тот же период будет характеризовать и движение точки по подземному круговому туннелю с центром в центре Земли. Теперь вы, наверное, сами можете показать, что если одновременно уронить несколько тел в разные туннели, исходящие из одной точки А (рис.4), то в любой момент времени t1 , t2 , ... они будут находиться на окружности, проходящей через точку А.

Преобразование электрических цепей
А.ЗИЛЬБЕРМАН
ляющем упрощать сложные задачи по расчету электрических цепей. Что мы понимаем под 'преобразованием цепи'? Предположим, что у нас есть сложная схема из резисторов, имеющая множество выводов и подключенная к источникам. Заменим эту схему другой, но с тем же числом выводов, причем так, чтобы сопротивления между двумя любыми выводами у новой схемы были такими же, как у старой. Ясно, что источники 'ничего не узнают' об этой замене и токи, потребляемые схемой, останутся прежними. Но найти эти токи, возможно, окажется проще. Итак, если мы хотим подсчитать токи в сложной схеме, ее можно заменить более простой эквивалентной схемой. При этом токи внутри заменяемой части меняются. Поэтому так поступать можно только с той частью схемы, которая нас непосредственно не интересует.
Опубликовано в 'Кванте' ?3 за 1971 год.

С подобными заменами вы, конечно же, встречались. Пусть, например, в схеме два сопротивления 1 r1 и r2 включены последовательно. Их мы можем заменить одним, равным по величине сумме r1 + r2 . Если же два сопротивления включены параллельно, то их также можно заменить rr2 1 одним, величина которого равна r + r . Это простейшие 1 2 примеры преобразования цепей. Мы же остановимся на более сложных схемах. Посмотрим, как преобразуются друг в друга схемы, имеющие по три вывода, 'звезда' и 'треугольник' (рис.1).

a

1 r r! r 2

б

1 R

В

ЭТОЙ СТАТЬЕ РАССКАЗЫВАЕТСЯ О МЕТОДЕ, ПОЗВО-

R!

3
Рис. 1

3

R

!

2

Немного непривычные обозначения на рисунке 1,б очень удобны индексы показывают, между какими точками включено сопротивление. Например, сопротивление R13 включено между точками 1 и 3 и т.д. Если мы хотим заменить одну из этих схем другой, нужно получить такие соотношения между r и R, чтобы сопротивления между любыми точками были для обеих схем одинаковы. В схеме 'звезда' (см. рис.1, а) сопротивление между
1 Здесь и далее более правильно говорить 'два резистора с сопротивлениями r1 и r2 '. (Прим. ред.)