Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/03/kv0302keys.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:51 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:32:53 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 5

ОТВЕТЫ,
Уравнения Пелля

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ

#%
k + dn + k ,

Значит, если k = t 2m m + d , то

1. Рассуждайте по индукции. 2. Обозначим через fn количество способов пройти расстояние длиной n шагов. Очевидно, f 0 = 1 (никуда не ходить можно единственным способом) и f1 = 2 (можно сделать либо шаг вперед, либо два шага вперед и шаг назад). Пройти n + 2 шага можно трояко: либо пройти сначала n + 1 шаг и сделать шаг вперед, либо пройти n шагов и сделать два шага, либо пройти n + 1 шаг, а затем сделать два шага вперед и шаг назад. Значит, f n + 2 = f n +1 + f n + f n +1 = 2 f n +1 + f n . Ответ: f 7 = 408. 2 2 3. Если a - db = +1, то



m+d + m



n

=

s2 + t 2 m m + d =

что и требовалось. Можно решить задачу и по-другому. Обозначим A = m + m + d . Рассмотрим функцию y = x + d n + x . Она непрерывна, а ее значение в точке x = 0 меньше числа A n . Поскольку эта функция стремится к бесконечности при x + , то существует такое x, что

x + d n = An - x .
Возведя обе части последнего равенства в квадрат, получим после упрощения
ж d An - з з з m+d + m и A2 n - d n = x= 2 2 An ц ч ч ч ч ш
n

1 a +b d

=

Обратно, пусть числа x и y целые. Рассмотрим равенство

e

a -b d a-b d a+b d

je

j

=

a-b d a - db
2 2

= + a -b d .

e

j

=

e

a+b d x+y d =1

je

j

=



m+d + m

-
n

m+d- m

и сопряженное к нему

2



n

,

e

a - b d x - y d = 1.
2 2

je

j

Перемножив эти равенства, получаем откуда a - db = +1. 4. а) x2 n + y2 =
2 2

e

a - db

je

x - dy

2

2

j

= 1,

1

+2



n2



n

2 = 1 + 2
n

= xn + yn 2



2n

=

2

2 2 = xn + 2yn + 2xn yn 2 . Поскольку n 2 2 = 2xn - -1

2 2 xn - 2yn = - 1 , то x2 n + y2

5. а) 1 + 2



n



n



+ 2 xn yn 2 .
n

= xn + yn 2 =

x + 2y =

2 n

2 n

2 x + xn - -1 . 2 n

б) Пусть n нечетно. Возведя число пень и воспользовавшись тем, что ральные числа, получим равенство

m + d + m в n-ю сте-



m+d



2

и

m

2

откуда уже легко вывести, что x натуральное число. n + n2 - 4 удовлетворяет равенству в) Число x = 2 1 x + = n. Положим km = xm + 1 . Тогда x xm ж 1ц ч km +1 = km з x + ч - km -1 = nkm - km -1 . Поскольку числа k0 = 2 з з xч и ш и k1 = n натуральные, при помощи индукции легко доказать, что все числа km натуральные. Решая квадратное уравнение, 2 k + km - 4 . Поскольку x 1 , то нужно взять находим x m = m 2 знак 'плюс'. 6. Нет. Если бы такие числа a, b, c и d существовали, то при помощи перехода к сопряженным числам мы получили бы
0 ? a - b 2

нату-

+ c
2

-d 2



2

= 7 - 5 2 < 0.


Перемножим:

m+d + m



n

= s m+d +t m , m на - m , полу-

7. а) Первый способ. Пусть 5 + 3 2





m

= 3 + 5 2 . Переход
n

где s и t натуральные числа. Заменив чим сопряженную формулу:
m+d- m

к сопряженным числам дает равенство 5 - 3 2
5 2 - 3 > 1.





m

= 3 - 5 2 ,
n



n

= s m + d -t m .

которое противоречит неравенствам 0 < 5 - 3 2 < 1 и Второй способ. Если 5 + 3 2

dn = m + d - m = s m + d + t m s m + d - t m =
n



m

= 3 + 5 2



n

, то и

5
2

-3 2



m

= 3 - 5 2



n

. Перемножив эти равенства, получим

= s m + d - t m .
2

n n 25 - 9 Ч 2 = 9 - 25 Ч 2 , т.е. 7m = -41 , что невозможно.

m

Таким образом, достаточно положить k = t 2 m при этом



m+d + m



n

=

s m + d +
2

t m = k+d + k .

2

n

Решение для четных n аналогично:

б) Пусть для определенности a < b. Тогда 1 < b + a d < a + b d , и поэтому m < n. Перейдя к сопряженным числам и разделив почленно полученное при этом равенство на исходное, получим
a-b d a+b d
m


Следовательно,

m+d + m



n

= s + t m m + d ,
m на - m , полу-

где s, t натуральные числа. Заменив чим

=

b-a d b+a d

n

. и =
a d -b b+a d

m+d - m
n



n

= s - t m m + d .

Сравним теперь величины ч =

b d-a

a+b d этого достаточно сравнить числа

. Для

dn = m + d - m =
= s + t m m + d s - t m m + d = s2 - t2m m + d .







b

d - ab + a d



и

a

d - b a + b d .
2

Первое из них равно ab d - 1 + b 2 - a



d , а второе равно


#&
ab d - 1 - b 2 - a
2

КВАНT 2002/?3



d . Обозначив S = ab d - 1 и

Аналогично можно доказать, что lim
t 1 . lim n = n qn 6 10. а) Например, x; y = б) Например, a = 3, b = 2, эти числа можно, выразив z

T = b - a
2

2



d , сводим дело к сравнению чисел |S + T| и

n qn

tn

=

1 3

и

|S T|. Поскольку S и T положительные числа, то |S + T| > >|S T|. Значит, ч > . Тем более, чm > n . Но, как вы помните, чm = n . 30 8. а) Число x = 45 + 1975 можно представить в виде женное число: y = 45 - 1975

a + b 1975 , где a, b натуральные числа. Рассмотрим сопря-

3; 5 , 20; 29 или (119; 16 9 ) . c = 1, d = 4, e = 3, f = 2. Найти из равенств = 2x + 1,





30

= a - b 1975 . Заметим, что
числа X и Y через x и y.

Z = 2X + 1, Z = 3 z + 4 y, Y = 2z + 3 y
2 22

x + y = 2a и 0 < y < 1. Значит, [x] = [2a y] = 2a 1. г) Воспользуйтесь тем, что 2 - 3 > 0 , число



2+ 3

д) an

=
n

+ 2 - 3 5+2 6 + n
n



n

целое и lim 2 - 3

+

5-2 6



nR? n





n

= 0.

11. Уравнение x 2 + y 2 - 1 = y



эквивалентно уравнению

. Обозначим = 5 + 2 6 и

= 5 - 2 6 . Тогда

an

+2

=

n +2

+2

= 5+2 6

= 49 + 20 6 + 49 - 20 6

(

(

)

)

2 n

n + 5 - 2 6

(

(

) )

2n n

=
=

= 50 + 20 6 n + 50 - 20 6 n - n - n = = 10

(

)

Поскольку an + 4 = 10an + 3 - an +2 = 10an + 3 - 10an +1 + an , то числа an + 4 и an оканчиваются одной и той же цифрой. Поскольку a0 = 2 , то десятичная запись числа a1000 оканчивается цифрой 2. Далее,

(

(

n +1

+

n +1

)-(

)

n +

n

)

= 10an

+1

- an .

x 2 - 2y 2 = -1 . 12. Существует. Например, f (x ) = 2x 2 + 1 . 13. Да, существуют. Подставив n = 1 в искомые соотношения, получим 17 = 3a + b, 12 = 2a, откуда a = 6, b = 1. Докажем по индукции, что найденные значения удовлетворяют условию задачи. База это та система, из которой мы нашли a и b. Переход. Пусть при некотором n выполнены равенства xn +1 = 6 xn - xn -1 и yn +1 = 6 yn - yn-1 . Тогда x
n+2

= 3x

n +1

+ 4 yn

+1

= 3 (6 xn - xn

-1

)

+ 4 (6yn - yn

-1

)

=

a1000 =



3+ 2



2000

+



3 - 2

2000

>



3 + 2 ц ч ч ч ш

2000

=

= 6 (3xn + 4yn ) - ( 3xn -1 + 4yn

-1

)

= 6xn + 1 - xn ;

= a1000 -



3- 2



2000

ж1 з > a1000 - з з3 и

2000

> a1000 - 1 0-666 ,

аналогичная выкладка доказывает равенство yn + 2 = 6 yn +1 - yn . 2 2 14. Нет. а) x - 1 + x 2 + x + 1 = 3 x 2 + 2 ; но квадрат не может дать остаток 2 при делении на 3. б) x - 1 + x2 + x + 1 + x + 2 = = 4 x + 4 x + 6 ? 2 m od 4 ; но квадрат целого числа не может дать остаток 2 при делении на 4. в) 5x2 + 10 = 5 x2 + 2 не может быть квадратом, поскольку
2

2

2

2

откуда и следует, что перед запятой в десятичной записи числа



3+ 2



2000

стоит цифра 1, а после запятой не менее

666 девяток. (При помощи компьютера можно проверить, что девяток 995 штук.) 9. Обозначим a = 1 + 2 + 3 , b = 1 - 2 + 3 ,
c = 1 + 2 - 3 и d = 1 - 2 - 3 . Наряду с равенством

x 2 + 2 ни при каком целом x не делится на 5.

a n = 1 + 2 + 3



n

= qn + rn 2 + sn 3 + tn 6

рассмотрим три сопряженных:

г) 6 x2 + 6 x + 19 ? 3 mod 4 . д) x 2 + 4 = 7z 2 . Значит, x 2 + 4 делится на 7, что невозможно. е) 2x 2 + 2x + 11 = z2 . Значит, z2 ? 3 mod 4 . ж) x - 4 + x - 3 + x - 2 + K ...+ x + 3 + x + 4 = 9x2 + 60 делится на 3, но не делится на 9 и поэтому не может быть точным квадратом. 2 з) 2x x + 1 ? 3 m od 5 , поскольку 2x + 1 ? 7 mod 5 . и) y 2 ? 2 mod 4 . 15. а) Домножим обе части уравнения 3 x 2 + 3 x + 1 = y 2 на 4 и 2 выделим полный квадрат: 3 4x2 + 4x + 1 + 1 = 2y , т.е. 2 2 2y - 3 2x + 1 = 1 . Обозначив z = 2y и t = 2x + 1, получаем уравнение Пелля z 2 - 3t 2 = 1. Нас интересуют не все решения последнего уравнения, а лишь те, где z четно. В любом решении уравнения z 2 - 3t 2 = 1 одно из чисел z и t четно, а другое нечетно. При переходе z; t R 2z + 3t; z + 2t пара (четное; нечетное) преобразуется в (нечетное; четное), и наоборот. Поэтому нужно рассматривать только 'половину' решений, а именно (z; t) = (26; 15), (362; 209), (5042; 2911), (70226; 40545), (978122; 564719), (13623482; 7865521) и так далее. Этим решениям соответствуют пары (x; y) = (7; 13), (104; 181), (1455; 2521), (20272; 35113), (282359; 489061),
2 2 2 2 2

b n = qn - rn 2 + sn 3 - tn 6, cn = qn + rn 2 - sn 3 - tn 6, d n = qn - rn 2 - sn 3 + tn 6.
Из этих четырех равенств находим
4qn = a n + bn + cn + dn , 4rn 2 = a n - b n + cn - dn, 4s
n

3 = a n + bn - c n - dn,

4tn 6 = a n - b n - c n + d n.

Следовательно,
rn a -b + c -d =n = qn ж a + bn + cn + dn 2 ж з з з з з1 + з и з и
n
n n n n

ж 1- з з з и

b a

ц ч +ж з ч з ч з ш и

n

c a

ц ж ч -з ч з ч з ш и

n

d a

ц ч ч ч ш

n

n ж bц ч з ч +з з ч aш и

n ж cц ч з ч +з з ч aш и

n dц ч ч ч aш

ц ч ч2 ч ч ч ш

R

1

2.

(Стремление величин b a , c a и d a к нулю следует из того, что все три числа b/a, c/a и d/a по модулю меньше 1.)

n

n


ОТВЕТЫ,
3 3 2

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ

#'

(3932760; 6811741)... В частности, 8 - 7 = 13 и 393276 13 - 3932760 3 = 68117412 . Согласитесь, последняя формула впечатляет! 2 б) 2n - 1 2n + 1 = 3 2 x + 1 . Числа 2n 1 и 2n + 1 взаимно просты, так что одно из них должно быть квадратом, а другое утроенным квадратом. Значит, либо 2n - 1 = 3t 2 и 2n + 1 = s 2 , либо 2n - 1 = t 2 и 2n + 1 = 3 s 2 . В первом случае s 2 - 3t 2 = 2 , что невозможно, поскольку квадрат целого числа не может давать остаток 2 при делении на 3. Значит, имеет место второй случай: 2n - 1 = t 2 . Обозначив t = 2k + 1, из равенства 2n - 1 = 2k + 1 2 + k + 1 .
2

получаем n = 2k2 + 2k + 1 = k2 +

в) 6 x 2 + 12 x + 8 ? 2 ? y2 m od 3 . 16. Числа m и n удовлетворяют равенству m2 - 3 n2 = 1, которое можно записать в виде m - 1 m + 1 = 3n2 . а) Если k нечетно, то m четно, так что числа m 1 и m + 1 взаимно просты, и решение такое же, как решение пункта б) предыдущего упражнения. б) Если k четно, то m нечетно и, следовательно, НОД(m 1, m + 1) = 2. Значит, одно из чисел m 1 и m + 1 имеет вид 2 2 2 2a 2 , а другое 6b . В случае, когда m - 1 = 2a и m + 1 = 6b , 2 2 имеем a = 3b - 1, что невозможно. Следовательно,
m + 1 = 2a2 , что и требовалось доказать.

17. а) Очевидно, x - 1 x + 1 = py 2. Если x четно, то числа x 1 и x + 1 взаимно просты, и для некоторых натуральных a и b должна выполняться одна из систем
x - 1 = a2 , x - 1 = pa 2, или 2 2 x + 1 = pb x + 1 = b .

роне квадрата, то с любой стороны от отрезка KL найдется точка M рассматриваемой системы, для которой углы MKL и MLK оба острые. Противоречие очевидно: одна из восьми точек оказалась в полуполосе, ограниченной отрезком KL и перпендикулярами к нему, восстановленными из K и L, и расположенной 'внутри' рассматриваемой ветви. Но в этой полуполосе нет ни одной точки рассматриваемых гипербол. Ясно также, что K и L не могут быть соседними вершинами квадрата (иначе середина отрезка KL не лежит на гиперболах). Поскольку никакая сторона квадрата не может пересекать никакую ветвь гиперболы более чем в двух точках, то мы приходим к единственной конфигурации: на каждой ветви гиперболы лежат одна вершина квадрата и середина одной из выходящих из этой вершины сторон. Рассмотрим такие две точки A и B. При симметрии относительно начала координат точки A и B переходят в точки A и B , лежащие на другой ветви той же гиперболы. При этом отрезок AB равен и параллелен отрезку BA . Если бы противоположная вершине B вершина квадрата и противоположная середине A середина стороны квадрата не совпадали с точками B и A соответственно, то на ветви гиперболы нашлись бы два разных отрезка, равных по длине и параллельных. Противоречие: отрезки, высекаемые на ветви гиперболы разными параллельными прямыми, различны по длине. 20. а) Воспользуйтесь индукцией или, записав тождество в n виде 2 - nn-1 - 2 -1 = - (-1) , вспомните теорему 6. n n б)
n- 2n+ 2

= ( n -
= 2 n

n-1

)(

n +
+1

n+1

)

=
+1

- n -1n

+ n n
n

- n -1n =

= - ( -1) +

n

(

n

+1

- n

-1

)

= 2 - ( -1) . n

n

Значит, при четном x одно из чисел x 1 и x + 1 является квадратом натурального числа. Если же x нечетно, то НОД(x 1, x + 1) = 2, и имеем системы
x - 1 = 2a 2 , x - 1 = 2 p a 2, или 2 2 x + 1 = 2 pb x + 1 = 2b ,

'Квант' для 'младших' школьников
Задачи
(см. 'Квант' ?2) 1. Пусть Петя задумал число ab = 10a + b . После указанных в условии задачи операций Петя получит новое число 11 a + b - 10a - b = a + 10b = ba , которое отличается от задуманного перестановкой цифр. Петя задумал число 52. 2. Доля мальчиков может сохраниться лишь в том случае, если на каждого вновь пришедшего мальчика будет приходиться шесть вновь пришедших девочек. Чтобы доля уменьшилась, пришедших девочек должно быть еще больше. Если бы пришли 2 мальчика или больше, то должны еще прийти более 2 6 = 12 девочек, т.е. всего более 14 человек. Это невозможно. Значит, в кружок пришел только один мальчик, а девочек пришло 12. 3. Достроим второй шестиугольник до прямоугольника (рис.1). Далее проводим прямую, проходящую через центр

из которых следует, что x 1 или x + 1 является удвоенным квадратом. б) Да. Например, x = 4, y = 1, d = 15. 18. Поскольку -1 < 1 - 3

b

g





2 n +1

< 0 и число

1
целое, то
й к1 + 3 л

+3



2n + 1

+ 1 - 3



2n +1



2 n +1

щ ъ = 1 + 3 ы



2 n +1

+ 1 - 3



2 n +1

=

= 1 + 3 4 + 2 3

+ 1
n n

- 3 4 - 2 3



n

=

= 2n Ч 1 + 3 2 + 3



+ 1

- 3 2 - 3



n



=

= 2n Ч 2 xn + 6 yn = 2

n+1

xn + 3 yn ,

где xn =

и yn = 2 23 2 2 удовлетворяют равенству xn - 3 yn = 1 . Осталось заметить, что xn и yn числа разной четности. 19. Рассмотрим 8 точек: вершины и середины сторон некоторого квадрата. Пусть все они лежат на гиперболах xy = +1. Если на некоторой ветви лежат некоторые две точки K и L, то соединим их отрезком. Если K и L не лежат на одной сто-



2+ 3

+
n

2- 3



n

2

+3

-
n

2- 3



n

Рис. 1


$

КВАНT 2002/?3

большого прямоугольника и центр маленького прямоугольника, представляющего собой 'вырез', она и окажется как раз тем, что требуется. 4. Вместо гирек будем рассматривать числа, выражающие их массы. От каждого из двух диаметрально расположенных чисел отнимем величину наименьшего из них. Тогда по кругу будут расставлены только нули и единицы. Проведем диаметр круга так, чтобы по разные стороны от него оказалось одинаковое количество чисел. Зафиксируем какую-то одну из сторон и подсчитаем сумму всех расположенных на ней чисел. Начнем поворачивать диаметр относительно центра круга на 18њ, каждый раз подсчитывая сумму чисел на фиксированной стороне. Эта сумма при каждом повороте будет увеличиваться или уменьшаться на 1, пробегая все промежуточные значения от наименьшей возможной величины n ( n 5 ) до наибольшей возможной величины N ( N 5 ), причем n + N = 10. Следовательно, при каком-то положении диаметра сумма чисел на фиксированной стороне окажется равной 5, т.е. на двух разделенных этим диаметром половинках круга сумма чисел одинакова. А это означает, что общие массы гирек, стоящие на этих половинках, равны. 5. Можно. Обозначим через n! произведение первых натуральных чисел от 1 до n: n ! = 1 2 3 K n . Отметив числа 10, 11, 12, ..., 9 !- 1 , 9!, получим
1 2 3 K 9 10 11 K 9!- 1 = 10 11 K 9 !- 1 9 !.

b

b

g

g

b

g

ден будет оставить либо брусок 1 Ч 1 Ч n , после чего он проигрывает, либо брусок 1 Ч m Ч n , 1 < m < n . В последнем случае Малыш своим очередным ходом оставляет брусок 1 Ч m Ч m , размеры которого меньше размеров предыдущего бруска. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не получится кубик 1 Ч 1 Ч 1 , который Малыш съедает. Выигрышная стратегия Малыша состоит в следующем. Своим первым ходом Малыш оставляет брусок 2 Ч 2001 Ч 2002 . В ответ Карлсон не может оставить брусок 1 Ч 2001 Ч 2002 , 2 Ч 2001 Ч 2001 или 2 Ч 2001 Ч 2 , иначе своим очередным ходом Малыш оставит брусок, один из размеров которого равен 1, а два других одинаковы, после чего выигрывает. Предположим, Карлсон оставит брусок, заменив один из размеров предыдущего бруска числом р, 2 < p < 2001. Тогда p = =2q или p = 2q 1, где натуральное число q таково, что 2 q 1000 . В обоих случаях Малыш может сделать брусок 2 Ч 2q - 1 Ч 2q того же вида, что и брусок, который он оставил перед этим, но меньших размеров. Если Карлсон и дальше будет играть наилучшим образом, то Малыш в конце концов оставит ему брусок 2 Ч 3 Ч 4 . Несложно убедиться, что как бы Карлсон ни разрезал этот брусок, при правильной игре Малыша он обязательно проигрывает. 14. Продолжим стороны АН, ВС и FG до пересечения в точках M, N, K (рис.4). Покажем, что точка О центр вписан-

b

g

N

Конкурс 'Математика 68'
11. . Рассмотрим любой квадрат 15 Ч 15 . Его можно раз9 делить на 25 квадратов 3 Ч 3 . В каждом из них сумма чисел равна 5, поэтому сумма чисел во всем квадрате 15 Ч 15 равна 5 25 = 125 . С другой стороны, этот квадрат можно разделить на 9 квадратов 5 Ч 5 . Сумма в каждом из них одинакова, по125 этому она равна . 9 12. 16. Чем меньше использовано прямоугольников, тем меньше частей получится после разрезания. Без прямоугольников не обойтись. Действительно, если угол закрыт фигуркой из четырех клеток, то несколько других фигурок вырезаются однозначно, и соседние углы не попадают в фигурку (рис.2).
125

(см. 'Квант' ?6 за 2001 г.)

C Q B O

F R G

M
Рис. 4

A

P

H

K

Рис. 2

Рис. 3

Если вырезать один, два или три прямоугольника, то число оставшихся клеток не будет делиться на 4 и разрезание оставшейся части на фигурки из четырех клеток невозможно. Четырьмя прямоугольниками обойтись можно (рис.3). При этом получается 16 фигурок. 13. Выигрышную стратегию имеет Малыш. Сначала заметим, что если Малышу удастся оставить Карлсону брусок вида 1 Ч n Ч n , где n > 1, то Малыш обеспечивает себе победу. Действительно, в этом случае Карлсон своим ходом вынуж-

ной окружности треугольника MNK является центром описанной окружности шестиугольника. Обозначим через P, Q, R основания перпендикуляров, опущенных из точки О на стороны АН, ВС и FG соответственно. Из равенств углов: A = B , C = F и G = H следуют равенства длин отрезков: AP = BQ, QC = FR, RG = HP. Так как AP + HP = BQ + QC = FR + RG, то AP = BQ = QC = = FR = RG = HP и шесть прямоугольных треугольников OAP, OHP, OBQ, OCQ, OFR, OGR равны, т.е. равны их гипотенузы. Поскольку точки А, В, С, F, G, H находятся на одинаковом удалении от точки О, то эта точка является центром окружности, описанной вокруг шестиугольника ABCFGH. 2 2 15. Если справедливо равенство ab + ba = 0 или равносильное ему равенство ab a + b = 0 , то либо одно из чисел а или b равно нулю, либо a + b = 0. Несложно проверить, что в лю5 5 5 бом из этих случаев равенство a + b = a + b выполняется. 5 5 5 Пусть теперь справедливо равенство a + b = = a + b . До-

b

g

b

g

кажем, что в этом случае ab + ba = 0 . Здесь можно рассуждать по-разному. Первый способ. Предположим, что ни одно из равенств а = 0, b = 0, a + b = 0 не выполняется. Числа а и b не могут быть одного знака, поскольку в этом случае было бы справедливо 5 5 5 равенство a + b = a + b , что невозможно. Действительно, раскрывая скобки в правой части этого равенства, можно убедиться, что она больше левой.

2

2

b

g

d

i


ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ

$

Если числа а и b разных знаков, то знак одного из чисел (а) или (b) совпадает со знаком суммы a + b, а знак другого числа противоположен ему. Пусть, для определенности, совпадают знаки чисел a + b и (а). Перепишем исходное равенство:

b

a+b

g + b-a g
5 5

5

=b .

5

Но в этом случае справедливо равенство

b

a+b
5

g + b - a g = db
5 5

a + b + -a

g b gi

5

,

что для чисел одного знака (a + b) и (а) невозможно. Итак, равенство a + b = a + b влечет выполнение одного из равенств а = 0, b = 0, a + b = 0 и, значит, справедливость равенства

b

g

5

ab + ba = 0.
Второй способ. Поскольку

2

2

b

a+b

то в случае

g =a b a + bg
5 4

5

+ 5 a b + 10a b + 10a b + 5ab + b , = a + b имеем
3 2 2 3 4 5 5

4

3

2

2

3

4

5

5

5 a b + 10a b + 10a b + 5ab = 0.

лой теплопроводностью, что ухудшает передачу тепла воде от нагревателя. 11. Поток тепла направлен в сторону убывания температуры, т.е. против указанной оси. 12. У сковороды большой площади центр нагрет сильнее, чем края; давление паров под интенсивно испаряющейся каплей больше со стороны, ближайшей к центру; разность давлений, 'выдавая' разность температур, и перемещает капли к краю. 13. Слева гипс, а справа стекло. В отличие от аморфного стекла, кристаллический гипс обладает анизотропией, т.е. проводит тепло неодинаково по разным направлениям. 14. Считая температуру на внутренней поверхности комбинезона равной температуре человеческого тела и полагая потоки тепла наружу одинаковыми, получим, что материал второго комбинезона, температура внешней поверхности которого ниже, имеет более низкую теплопроводность, а именно такую одежду мы и называем теплой. 15. В сторону потока жидкости. 16. Чем ниже температура масла, тем больше его вязкость, а значит, тем больше силы внутреннего трения. 17. Такую способность приобретает только очень густой, вязкий сироп, содержащий необходимое для длительного хранения количество сахара.

Преобразовав выражение в левой части этого равенства, получим
5 2 ab a + b

Микроопыт
Раньше успокоится воздух. Трение в движущемся воздухе очень мало, но прежде всего мала зависящая от плотности кинетическая энергия воздуха, которую он должен потерять. Вода же, обладающая много большей, чем воздух, плотностью, тормозится дольше, несмотря на большую вязкость.

b

geb

a +b

g

2

+a +b

2

2

j

= 0.

Последнее равенство имеет место лишь тогда, когда ab = 0 2 2 или a + b = 0. В любом из этих случаев ab + ba = 0.

Как найти сумму?
1. Из рисунка 1 статьи имеем 1 - r1
d1 = 2 r1 = 1 2 . Аналогично из
2 2 2

Калейдоскоп 'Кванта'
Вопросы и задачи
1. Молекулы паров растворителя за счет хаотического движения из-за столкновений с молекулами воздуха диффундируют на большие расстояния. 2. Иначе процесс растворения (диффузия) сахара затянется на долгое время. 3. В холодном, так как скорость диффузии водорода уменьшается при понижении температуры. 4. При сдавливании поверхностные слои деталей размягчаются, усиливается взаимная диффузия частиц и, как следствие, увеличиваются силы сцепления деталей. 5. Диффузия это самопроизвольное выравнивание концентраций различных веществ, отражающее стремление любой системы из большого числа частиц к хаотичному, беспорядочному их размещению. 6. Сначела более подвижные легкие молекулы, выравнивая свою концентрацию, быстрее продиффундировали сквозь перегородку вправо. Со временем тяжелые молекулы проникли в левую секцию, и давления сравнялись. 7. В пленке пузыря концентрация растворенного газа вблизи ее внутренней поверхности выше, чем вблизи внешней поверхности, поскольку растворимость газа зависит от его давления, а внутри пузыря оно больше, чем снаружи. Разность концентраций и является 'движущей силой' диффузионного потока. 8. В лед, так как наличие воздуха в снегу делает его менее теплопроводным. 9. Если их температура будет равна температуре той части тела, которой мы их касаемся. 10. На дне и стенках чайника образуется слой накипи с ма-

дим d2 = 1 6 . Индукцией по k найдем dk = 1 (k ( k + 1)) . 1 1 - = 2. mx x + 1 K x + m - 1 m x +1 K x + m 1 = . x x +1 K x + m 3.

b g + 1 = b1 + r g , откуда d1 - d - r i + 1 = d1 + r i нахо2 1 2 2 1 2 2

4. 5.

gb g b gb b gb g bk + 1gk b2k + 1g 6 - bk - 1gk b2k - 1g 6 bk + 1g k 4 - k bk - 1g 4 = k . F b x + 1g - F b x g = x . b g = x + xK x -