Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/02/53.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:49 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:15:15 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: совершенный газ

ОЛИМПИАДЫ

53

пустотелый. С каким ускорением будет двигаться эта система, если известно, что цилиндры постоянно касаются друг друга, а коэффициент трения между ними равен ч ? Считать, что проскальзывание между цилиндрами и наклонной плоскостью отсутствует. 3. Космический парусник, представляющий из себя идеально отражающее зеркало площадью S и массой М, вращается по стационарной орбите вокруг Солнца. Скорость его движения v0 , радиус орбиты R, и интенсивность светового потока на данной орбите I0 . Определите, за какое минимальное время парусник может увеличить радиус орбиты в четыре раза. Как он при этом должен действовать? 4. Заряд q расположен посредине между двумя параллельными бесконечными незаряженными металлическими пластинами, расстояние между которыми равно а. Определите силу, с которой отталкиваются друг от друга пластины, и силу, с которой каждая из пластин притягивается к заряду. Учесть, что 1 4 - 2 9 + 3 16 - 4 25 K = 0,129 , а 1 - 1 4 + 1 9 - 1 16 K = 0,822 . 5. Электромагнитная пушка представляет из себя коаксиальную систему, состоящую из металлической трубки, внутренний диаметр которой D, и стержня, наружный диаметр кото7 рого d (см. рисунок). Длина и стержня и трубки L. Вдоль пушки, одновременно касаясь и стержня и трубки, может без трения скользить металлическая шайба массой m. В момент времени t = 0 между стержнем и трубкой прикладывается напряжение U, шайба в этот момент неподвижна и находится на том конце стержня, к

bgb gb gb g bgbgb g

которому приложено напряжение. Определите, с какой скоростью v вылетит шайба из пушки. 6. Соленоид радиусом R и длиной L состоит из N витков сверхпроводящего провода, концы которого замкнуты между собой. Первоначально ток в соленоиде равен нулю. Сквозь него пролетает второй аналогичный соленоид радиусом r длиной l с числом витков n. Ток в этом соленоиде в начальный момент равен I. Определите заряд, который протечет через провод первого соленоида за время движения второго. Скорость движения второго соленоида постоянна и равна v. Считать, что L ( l ( R . 7. Равномерно намагниченный шар из магнетика радиусом R разрезан на две равные половинки таким образом, что плоскость разреза перпендикулярна вектору намагниченности, величина которого равна J. Относительная магнитная проницаемость магнетика ч . Определите магнитную силу, с которой притягиваются обе половинки друг к другу. Считать известным, что в однородном магнитном поле шарик из магнетика намагничивается равномерно по всему объему. 8. Термодинамический цикл, совершаемый с одним киломолем одноатомного газа, состоит из двух процессов. В первом pV = a , во втором p + bV = p0 . Определите разность между максимальным и минимальным значениями энтропии в этом цикле. 9. В непроницаемом экране, помещенном на пути плоской световой волны с интенсивностью I0 , вырезано круглое отверстие, открывающее 2N зон Френеля. В отверстие помещены две группы идеальных поляризаторов, плоскости поляризации которых взаимно перпендикулярны. Одна группа поляризаторов закрывает четные зоны Френеля, другая нечетные. Определите интенсивность света в точке наблюдения. Публикацию подготовили М.Яковлев, В.Голубев

ОТВЕТЫ,

1. а) Нужно найти минимум функции
fx =

УКАЗАНИЯ,
2

РЕШЕНИЯ
2

z
2

bg b

x-a +

g FGH
2

k -a x

IJ K

F GH

1+

a 2

I JK

+w

F GH

1-

a 2

I JK

= 1 задает эллипс при a < 2 , пару пря2 2+ a

.
2

мых при a = +2 и гиперболу при a > 2 . Ответ:

.
2.

Приравняв к нулю производную функции f

2 2 уравнение x - k x - ax + k = 0 . При a2 4k ближайшей точкой является вершина гиперболы, и расстояние равно

e

je

j

b xg

, получаем

4. Упражнение сводится к предыдущему заменой y = z
4 4- 2 .

Наименьшее значение равно 4 4 + 2 , а наибольшее равно

e

j

e

j

б)

F GG H

a - k 2 . При a > 4k ближайшими точками являются a + a - 4k 2
2 2

2

;

a m a - 4k 2

2

a + 2ak . a
2

I JJ K

, а расстояние равно

a - 2k .

2

2. При h a 2h минимум равен a h, а при a 2h минимум равен
2 -h . z+w a 2 2
2

5. а) Нет. 6. В формуле в условии содержится ошибка. В разделе 'Полукубическая парабола эволюта параболы' следовало сравнивать с A не |a| , а 2|a|. Поэтому в уравнении полукубической параболы коэффициент должен быть равен не 8/27, а 2/27. 7. В условии содержится ошибка. Правильная формула:
y= 1 2 +3 1

3. Выполним замену переменных: x = Тогда
x - axy + y = z 1 +
2 2 2

F GH

a 2

I JK

+ w 1-

2

F GH

I JK

и y=

z-w 2

8. Параметрически огибающая задается формулами x = -4ka .

F xI GH 4 JK

23

.
3

.

Уравнение

+ 3a2 . (Касательная к огибающей, проходящая и y= 2k через точку с этими координатами, пересекает параболу y = kx в точке a; ka
2

e

2

j

под прямым углом.)