Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/02/55.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:49 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:17:20 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: ceres

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ

55
LQ

A A A! A"

P

C C! C# C% C' C C! C C" C$ C& C C C" C$ C& C C C C C
" $

Q

B B B! B"

PK

. . .

C# C% C' C C C


. . .

!

#

A$ A% A& A' A!

C C S

%

&

'

C! R

B$ B% B& B' B!

C!

S
. 5

R

. 4

A

'

щий набор:

N A
. 6
!

C

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90}.
!

' 6--8'
(см. 'Квант' ?5 за 2001 г.) 1. Пусть n количество сыновей купца Бубликова (это число известно его наследникам), S рублей сумма наследства. Поскольку последний сын должен получить 100n рублей, что со1 часть от суммы S, то S = 100n2 . ставляет n Первый сын должен получить столько же, сколько и последний, т.е. 100n рублей. С другой стороны, это число равно 1 2 100 + 100n - 100 рублей. Приравняв эти выражения, нахоk дим число k: k = n + 1. Осталось проверить, что при найденных значениях S и k все условия завещания купца Бубликова выполняются. Убедимся в том, что i-й сын, где i любое число из промежутка от 1 до 1 часть суммы, оставшейся после n, получив 100i рублей и k старших братьев, будет иметь 100n рублей. Действительно, 2 1 100n + 100n 2 100i + 100n - 100 i - 1 n - 100i = = 100n . n +1 n +1 2. Рассмотрим карточку с цифрой 0. Числа, в образовании которых может участвовать эта карточка, составляют следую-

e

j

e

bg

j

Искомые делители содержатся среди чисел указанного набора. Далее достаточно рассмотреть лишь простые числа 2, 3, 5, 7, входящие в этот набор. Число 2 не может быть делителем десяти двузначных чисел, которые получаются в результате раскладки карточек, так как среди них обязательно встретится нечетное число. Число делится на 5, если оно оканчивается на цифру 0 или 5. Карточек с такими цифрами только две, а двузначных чисел десять. Следовательно, 5 не может быть искомым делителем. Если в двузначном числе, которое делится на 3, одна из цифр будет кратной трем, то другая цифра тоже будет кратной трем (так как сумма цифр данного числа тоже делится на 3). Таким образом, карточки с цифрами, кратными трем, образуют ряд, состоящий только из цифр (в некотором порядке) 0, 3, 6, 9. Следовательно, и 3 не может быть искомым делителем. Аналогично можно доказать, что и 7 не может быть искомым делителем. Если в двузначном числе, которое делится на 7, одна из цифр будет кратной семи, то другая цифра тоже будет кратной семи: 0 и 7. Расположить карточки так, чтобы выполнялось условие задачи, невозможно. 3. Введем обозначения, показанные на рисунке 7. Заметим, что треугольник ABD равносторонний, BAD = ABD = o = BDA = 60 ; BD = AB = AD. MB MC = . Из подобия треугольников ВМС и АМN следует AB CN