Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/02/45.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:49 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:15:07 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 17

ОЛИМПИАДЫ

"#

8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19-20. 19-20.



143 141 139 136 135 134 131 129 120 113 111 107 107

1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0

5 0 5 0 4 0 3 2 2 3 3 2 3 1 2 2 4 2 2 1 2 4 2 4 3 1

, : 27. 35. 36-38. 36-38. 39. 91 72 71 71 70 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 3 3 3 2 1

. '' , .


1. Точка О центр описанной окружности остроугольного треугольника АВС. Точка Р основание высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС. Известно, что o BCA ABC + 30o . Докажите, что CAB + COP < 90 . (Южная Корея) 2. См. задачу М1804 3. См. задачу М1805 4. Пусть n нечетное данные целые числа. a = a1, a2 , K, an чисел 'Задачника 'Кванта'. 'Задачника 'Кванта'. число, большее 1, и k1, k2 , K, kn Для каждой из n! перестановок 1, 2, ..., n положим
n

- BOM = - 30 . Следовательно,

g

o

AH AO sin 30 =

o

R 2

.
o

По условию задачи требуется доказать, что
COP < 90 - CAB = 90 - .
o

Для этого отметим на ВС точку Q такую, что COQ = 90 - , и покажем, что CQ > CP. Из того, что

o

c

h

OCB =

1 2

e180
CO CB

o

- BOC = 90 - = COQ ,

j

o

Sa =

bg
i =1

следует подобие треугольников СОВ и CQO. Поэтому
CQ CO = CQ = R
2

ki a i .

Докажите, что найдутся такие перестановки b и с, b c , что S b - S c делится на n!. (Германия) 5. В треугольнике АВС биссектриса угла BAC пересекает сторону ВС в точке Р, а биссектриса угла ABC пересекает o сторону СА в точке Q. Известно, что BAC = 60 и AB + + BP = AQ + QB. Чему могут равняться значения углов треугольника АВС? (Израиль)

BC

>

R

2

2R 1 2

=

R 2

.

bg bg

С другой стороны,
CP = CM - PM = 1 2 BC - AH < 2R - R 2 = R 2

.

6. Пусть а, b, c, d целые числа такие, что a > b > c > > d > 0. Предположим, что ac + bd = b + d + a - c b + d - a + c . Докажите, что число ab + cd не является простым. (Болгария)

b

gb

g

Значит, CQ > CP, что и доказывает утверждение задачи. Приведенное выше геометрическое решение было, конечно, далеко не единственным. Чаще школьники предлагали решения с применением тригонометрии. Второе решение (А.Глазырин). Воспользуемся уже введенo ными обозначениями. Из равенства OCP = 90 - следует, что условие задачи равносильно неравенству OCP > COP OP > CP . Но

CP = AC cos = 2R sin cos ,
OP = OM + PM
2 2

=

OM +

2


l B M Q P C
Приведем решения задач, предложенные нашими школьниками на олимпиаде. 1. Первое решение (А.Халявин). Пусть М середина ВС, l серединный перпендикуляр к отрезку ВС, AH l (рис.1). Тогда из условия BCA > ABC следует, что P MC . Пусть в ABC A = , B = , C = , R радиус описанной окружносBOC = 2 , ти. Тогда BOA = 2 , BOM = = -
- + AOH = 2 - -

F GH

1 2
2

BC - CP

I JK

2

,

поэтому
CP < OP CP < OP 0 < OM +
2 2 2 2 2 2 2

1 2

BC - BC CP

0 < R cos + R sin - 2 R sin 2 R sin cos

4 sin sin cos < 1.
Пусть - = . По условию 30 , поэтому
sin cos =
o

O

=

1 2

db FG sinF180 HH
o

1 sin + - sin - = 2
o

g

b

gi

- - sin =
o

IK

IJ K

1 2

sin -
o

1 2

sin <

1 2

-

1 2

sin

1 4

,

H
. 1

A

b

g

b

так как 30 < < 150 ( = - < < 90 ). Значит,
4 sin sin cos < sin < 1.