Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/02/17.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:47 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:12:17 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: comet

ЗАДАЧНИК

'КВАНТА'

17

A2 , A3 , K, A100 , мы увидим, что количество отрезков в пересечении будет не более 100 + 100 1 = 199, 199 + 100 1 = 298, ..., 9802 + 100 1 = 9901, что и требовалось доказать. Р.Карасев

У этого уравнения есть корень при условии, что дискриминант D 0 . Тогда условие задачи будет выполнено, если это уравнение не имеет корней, т.е. если
9v0 sin g
2 2 2 г

-

8v g

1795. На сфере S определена непрерывная функция y = f X , X S . Докажите, что найдется такое значение y0 , которое функция f принимает на каждой большой окружности сферы S. (Окружность на сфере является большой, если ее центр совпадает с центром сферы.)

2 0 2

0.

bg

Для граничного угла находим 8 22 = sin г = . 9 3 Если < г = arcsin
22 = 70,5o , то все хорошо. 3 З.Рафаилов

От семейства больших окружностей C сферы S перейдем к семейству отрезков J на прямой, где J область значений функции f на окружности C . Так как всякая пара больших окружностей C и C на сфере пересекается, то пересечение отрезков J и J тоже не пусто. Далее применим одномерную теорему Хелли: всякое семейство попарно пересекающихся отрезков на прямой имеет непустое пересечение. Любая точка y0 I J будет тем значением, которое

mr

mr

функция f принимает на каждой большой окружности сферы S. Осталось обосновать одномерную теорему Хелли. Для случая конечного семейства отрезков достаточно взять точку, которая является самым правым из левых концов попарно пересекающихся отрезков. Эта точка принадлежит всем отрезкам семейства. Для случая бесконечного семейства попарно пересекающихся отрезков достаточно взять точку, которая является верхней гранью (а таковая существует!) всех левых концов отрезков семейства; эта точка принадлежит всем отрезкам семейства. В.Произволов 1803. Под каким углом к горизонту следует бросить камень, чтобы расстояние от него до точки бросания в течение полета все время возрастало? Камень бросают с небольшой скоростью, сопротивлением воздуха можно пренебречь. Если бросить камень почти вертикально, то расстояние до него вначале будет увеличиваться, а затем начнет уменьшаться. Ясно, что O нужно найти 'граничное' значение угла бросания г . Ясно также, что 'подозрительная' точка траектории нахоLN O дится на спадающем ее 4 участке. В этой точке L LO вектор скорости v перГ N пендикулярен радиусуN вектору R (см. рисунок). Тогда v t sin г - gt 2 2 v0 cos г y v . = = x , или 0 v0t cos г gt - v0 sin г x -v y Отсюда получаем квадратное уравнение: 3v sin г 2v 2 t2 - 0 t + 20 = 0 . g g
5 Квант ? 2



1804.Грузы, массы которых М и 4М, при помощи легкой нерастяжимой нити подвешены на очень легком подвижном блоке. Еще один кусок такой же нити переброшен через неподвижный блок, к одному концу этой нити прикреплен подвижный блок, к другому груз массой m. При каких значениях m A один из грузов может оставаться неподвижным после m того, как тела перестанут удерживать?
Рассмотрим все три возможности. Чтобы груз массой m мог быть неподвижным, нужно выполнение условия (см. рисунок)
, TБ = TB = 05TA = 0,5mg .

Б B М

Подвижный блок в этом слу"М чае неподвижен, следовательно 05m - M 4 M - 0,5m , TБ - Mg 4 Mg - TB = = , или . M 4M 4M M Отсюда находим 16 m= M. 5 Чтобы груз массой М мог быть неподвижен, нужно, чтобы выполнялись условия
TБ = TB = Mg , TA = 2Mg .

При этом подвижный блок едет вниз с ускорением TA - mg m , а ускорение груза массой 4М должно быть вдвое больше: 4 Mg - Mg 2 Mg - mg =2 , 4M m откуда получаем 16 m= M. 11 Ситуация, когда груз массой 4М был бы неподвижным, нереальна ускорение груза массой М при этом оказалось бы равным 4 Mg - Mg M = 3 g , а груз массой m должен был бы падать с ускорением 15 g > g , ,

c

h

b

g