Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/02/03.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:46 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:10:04 2012 Кодировка: Windows-1251

БРЕВНО

В

ШАЛАШЕ

3
O

a2 - b 2 b a 3 cos3 . sin . Аналогично, x = b a (Проверьте это!) Итак, мы нашли огибающую:
т.е. y =

2

2

F b x; yg = G H baxg

a -b b -a 3 3 cos ; sin . a b

2

2

2

2

I JK

Значению х = 0 соответствует начало координат. Чтобы вишенка касалась дна бокала, последнее уравнение не должно иметь корней. (Разберитесь в этом самостоятельно!) Записав его в виде
r= x6 + 1

Легко убедиться, что кривая, заданная этим параметрическим уравнением, может быть задана уравнением без параметра:
23

+ by

bg

23

= b2 - a

e

2 23

j

.

Эту кривую тоже называют астроидой.
Упражнения 13. Докажите, что прямая, заданная уравнением yb cos - xa sin = b2 - a2 sin cos , касается в точке

2x 2 и построив график функции N ` $ 14 1 $ y= x + (рис.25), ви2 2x 2 .25 дим, что задача свелась к нахождению наименьшего значения этой функции. Дифференцируем:

Fa GH baxg
2

d

i

- b2 b2 - a2 cos3 ; sin3 кривой, заданной уравнением a b
23

+ by

bg bg

23

= b -a
2 2

e e

2

2

j j

23

I JK

FG H

14 1 x+ 2 2x

2

IJ K



= 2x 3 -

1 , x3

. то из точек астроиды

так что производная обращается в ноль в точках 1 x = + 6 ; наименьшее значение функции равно 2

+ by = b -a , кроме вершин четырех ее 'клювов', к эллипсу можно провести три перпендикуляра, из точек внешней области и из вершин 'клювов' два, а из точек внутренней области четыре перпендикуляра. Докажите это. 15. Нарисуйте, как выглядит огибающая семейства нормалей к гиперболе, заданной уравнением ху = 1. 16. Огибающей для семейства нормалей к циклоиде кривой, заданной параметрически формулами x = rt - r sin t и y = r - r cos t , где r > 0, является циклоида, сдвинутая на 2r вниз и на r вправо. Докажите это.

baxg

14.
23

Если
23

a b ,
2 2 23

FG 1 IJ + H 2K F 1 IJ 2G H 2K
6 6 6

1 =

2

33 2 . 4

Это и есть максимальный радиус вишенки.
Есть и другой способ решения задачи о вишенке. Для положительного числа r рассмотрим квадрат расстояния от 4 точки 0; r до точки x; x и продифференцируем полученную функцию:

bg

e

j

f x = x2 + x 4 - r ,

Завершит подготовку к решению задачи о максицилиндре задача, которую в 1994 году предложил Н.Б.Васильев одиннадцатиклассникам участникам Московской математической олимпиады: Задача. Вишенка имеет форму шара радиуса r. Внутренняя поверхность бокала получена вращением 4 кривой z = x вокруг оси аппликат. Найдите наибольшее возможное r, при котором вишенка может лежать в бокале и касаться его поверхности в начале координат. Решение. Рассмотрим плоскую задачу. Запишем уравнение окружности радиуса r c центром в точке 0; r :

f

bg b xg =

e

2x + 8x 3 x 4 - r .

e

j

2

j

Производная равна нулю, если х = 0 или

4 x 6 - 4 rx 2 + 1 = 0 .
Последнее уравнение можно записать в виде r=x +
4

1 4x
2

.

bg

Чтобы вишенка помещалась в бокал, должно быть выполнено неравенство

x2 + y - r

т.е. x 2 - 2ry + y 2 = 0 . Эта окружность и график y = x 4 должны иметь лишь одну общую точку начало координат. Подставим значение y в уравнение:
x 2 - 2rx 4 + x 8 = 0 .

b

g

2

= r2,

f x r2,
т.е.
2

bg

x+x-x+
Раскрыв скобки, получаем

FG H

4

FG H

4

1 4x
2

IJ IJ FG KK H
2

x4 +

1 4x
2

IJ K

2

.

Значит, x = 0 или

x - 2rx + 1 = 0 .
1*

6

2

x+

2

1 16 x
4

x +

8

x

2

2

+

1 16 x
4

,