Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/02/kv0202sokolov.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:46 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:35:39 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: масса покоя

О ПРОСТОМ И СЛОЖНОМ

7

.



кружка началось не совсем обычно. Ребята сидели хмурые и невеселые. Что случилось? поинтересовался я. Нам испортили настроение. И вообще, эти задачи на расчет сопротивлений уже изжили себя! Интересно, еще недавно вы с энтузиазмом их решали. Все имеет свой предел! На олимпиаде нам предложили хорошо известную задачу: найти сопротивление каркаса куба между различными его вершинами. Прав , ' '. - ? , ... , , ' ' . (, , ' '.) - , . , , . , , , ' ' , ' ', . - . (. .)

ДНАЖДЫ ЗАНЯТИЕ НАШЕГО ФИЗИЧЕСКОГО

да, добавили к ребрам еще и диагонали все, кроме главных (рис. 1). А все сопротивления одинаковы? Одинаковы. Представляете, ни одной новой идеи, но чтобы решить эту задачу, пришлось ис.1. , писать шесть листов бумаги! А если добавят еще и главные диагонали, то олимпиада превратится в соревнование расчетчиков! Ну что же, по-моему, у нас есть прекрасная тема для сегодняшнего занятия: 'Все имеет свой предел. В том числе и сложность'. И не удивляйтесь! На мой взгляд, очень часто оказывается справедливым принцип, который можно назвать принципом простоты: просты либо почти полностью незаполненные системы, либо почти полностью заполненные. Поэтому, заполняя систему, пытаясь усложнить ее, мы можем в конце концов получить очень простую систему. Вполне возможно, что это имеет место и в вашем случае. ...?

2*


8
a)

К В А Н T 2002/2

NN NN NN NN N N N NN


Если мы решили рассмотреть такую глобальную проблему, как справедливость принципа простоты, то неплохо было бы вооружиться и соответствующим общим методом расчета сопротивлений электрических схем. Какой бы метод нам применить? Метод объединения точек с постоянными потенциалами! Метод исключения сопротивлений, включенных между симметричными точками! Правила Кирхгофа ими уж точно можно рассчитать все, что хочешь! Из предложенных вами методов универсален лишь метод Кирхгофа. Да и он имеет недостаток выбирать контуры обхода надо для каждой схемы свои. Давайте лучше изберем для исследования метод старого узла. А что это за метод? Мы о нем не слышали. Если так, то послушайте рассказ о старом узле.

б)

.2.


Однажды в одной электрической цепи один старыйпрестарый узел, давайте назовем его n-м узлом (рис. 3,а), решил уйти на покой. Братья-узлы, стар я стал, тяжело мне коммутировать и перераспределять токи, отпустите меня подобрупоздорову!
a) i, i n
k

Вот пример. Очень легко сделать первый ход при игре 'крестики-нолики' на бесконечной доске (рис. 2,а), когда поле совсем не заполнено. Но так же нет никаких проблем с ходом и тогда, когда заполнены все клетки, кроме одной. Это понятно. А в жизни такое бывает? Ну что же, вот пример из жизни (рис.2,б). Легко описать движение воды в сосуде, когда ее там лишь одна капля. Но так же легко рассмотреть случай, когда сосуд почти полностью заполнен и в нем есть лишь только один пузырек. Обратите внимание, как изменяется при этом наш язык. Мы уже не говорим о воде, мы говорим о новом объекте 'отсутствие воды' и называем его пузырьком. И даже приписываем ему совершенно новые свойства. Например, если сосуд перевернуть, куда начнет двигаться пузырек? Вверх. Так, как если бы его масса была отрицательна. Видите, мы не только придумали новый объект, но даже наделили его новыми свойствами. И все это для того, чтобы не обсуждать сложное движение всей воды, а рассмотреть лишь движение 'отсутствующей воды'. И это проще ведь пузырек-то один. А в науке? Неужели и там рассматривают то, чего нет? Да, при исследовании почти заполненных систем рассмотрение того, чего нет, это общий подход. Так, в физике полупроводников отсутствие электрона рассматривают как вполне реальный объект 'дырка', в физике элементарных частиц отсутствие частицы можно трактовать как появление античастицы, и т.д. Но вернемся к нашему вопросу. У меня такое ощущение, что принцип простоты может оказаться справедливым и в этом случае. Так что вполне возможно, что ваши опасения напрасны, и в расчетчиков мы не превратимся.

k

б) i, i
k

k i,
k

.3. n

Да как же так, где же такое видано?! возмутился i-й узел. Да только от меня одного к тебе идет ток Ii,n , а от других узлов и того больше! Уйдешь ты, изменится в цепи распределение токов, общее сопротивление цепи другим станет. А вы перераспределите их, токи эти, между собой! Пусть все те узлы, которые соединяются со мной проводниками с проводимостью 1 i, n , соединятся между собой дополнительными проводниками с проводимостями i,k (рис.3,б) так, чтобы вытекающий из каждого узла ко мне ток в точности распределился между другими. Тогда и общее сопротивление неизменным останется. Да рады бы мы, дедушка, сказал k-й узел, да не по нашей воле текут токи. А пропорциональны они
1 Проводимость величина, обратная сопротивлению. Если узлы соединяются проводником с сопротивлением Ri,k, то можно сказать, что между ними включен проводник с проводимостью i,k = 1 Ri,k .


О

ПРОСТОМ

И

СЛОЖНОМ

9
R2 R1,2 = R1 + R2 2 R2 1 2

разности потенциалов между нами. Удастся ли нам перераспределить их так, как ты хочешь? А вы проводимости дополнительные выбирайте по правилу i,n k,n , i,k = 1,n + 2,n + K + n -1, n авось и получится. Проверили узлы это правило. И вышло все, как и предсказывал старый узел не изменилось общее сопротивление цепи. Отпустили они его на покой. И стали жить-поживать, как схема из n - 1 узла с проводимостью между i-м и k-м узлами, пересчитанной по правилу i,n k,n , = i,k + . ik 1,n + 2,n + K + n -1, n

a) 1 б) 1

R1 3 R1 4

2

R1R R1,2 = R1 + R2 + R 2 3 1 R3,1 3 2 R2,3

b

g

R3 3
.4.

Вот такая история. Ну, а что касается метода, то, надеюсь, вы поняли его смысл? Конечно, исключая узлы по очереди, мы в конце концов получим схему, состоящую из двух узлов. Проводимость между ними и будет общей проводимостью цепи. Только странно, что такой общий метод расчета нам неизвестен. Официальное название этого метода метод узловых проводимостей. Если вы хотите познакомиться с его выводом из общих принципов, прочитайте Приложение. А неизвестен он вам потому, что для обычных школьных схем он не очень хорош. Такие схемы слабо заполнены, т.е. отношение числа проводников к числу узлов в них порядка единицы. Поэтому на начальном этапе при исключении узлов число новых сопротивлений катастрофически растет. При расчетах вручную это очень неудобно. А вот для полных или почти полных схем, в которых почти все узлы связаны между собой и которые мы собираемся рассмотреть, каждый шаг приносит упрощение. А я узнал этот метод. Это школьное правило о замене двух последовательно включенных сопротивлений на одно (рис.4,а). Смотрите, что получится, если исключить узел 3: 1,3 2,3 1 R1 1 R2 1 , 12 = 12 + = = , , R1 + R2 1,3 + 2,3 1 R1 + 1 R2 или

заданной таблице проводимостей i,k . Я думаю, неплохо было бы иметь такую программу в нашем кружке. Ведь если вы и дальше собираетесь расписывать по шесть листов для решения задачи, то знание конечного ответа могло бы очень пригодиться в вашем нелегком труде. Итак, метод выбран, осталось применить его.


Давайте начнем с самого сложного случая с полной цепи. Будем называть полной цепью цепь, в которой каждый узел связан с другими узлами (рис. 5,а). Только давайте для начала считать все проводниa) n1 n n 1 2 3 1 2 б)

.5.

c hc h c hc h

R12 = R1 + R2 . ,

Очень полезное наблюдение. А для схемы 4,б новое правило совпадает с правилом электротехники о замене 'звезды' на 'треугольник':

R12 = R1 + R2 + ,
и, аналогично, для R2,3 и R31 . ,

R1 R2 R3

Упражнение 1. Получите это правило с помощью метода старого узла. Указание: исключите узел 4.

Метод старого узла универсален и содержит в себе уже известные вам методы. Особое его преимущество алгоритмичность. С его помощью легко составить программу, рассчитывающую сопротивление цепи по
3 Квант ? 2

ки одинаковыми с проводимостями 0 . В конце концов, и в обычных задачах сопротивления подбираются специальным образом, чтобы сработал какой-нибудь метод. И второе, если уж мы собираемся взглянуть на эти задачи по-новому, то давайте и рисунки рисовать не по правилам. Скажем, проводники с проводимостью 0 вообще обозначать не будем, а если вдруг мы введем в цепь проводники других номиналов, то обозначим их цветными линиями. К примеру, те, которых нет, черной линией. Смотрите (рис.5,б), во что превратится тогда стандартное изображение полной цепи. Так ведь это пустота! Согласен. Только давайте вместо слова 'пустота' употреблять слово 'вакуум'. Ведь у нас не то чтобы совсем ничего нет, просто нет никакого отличия одного элемента от другого. Число узлов n будем называть порядком вакуума, а проводимость участков между узлами вакуумной проводимостью. Давайте рассчитаем проводимость вакуума n-го по-


10
n 1
(n)

К В А Н T 2002/2

3 1
(n1)

2 1
(2)

a)
n1

б) n n 2 1 n1
n2

в) n

2

2 0

1
(3)

2

2
1

n

вак= 0

вак =

вак =

0

вак =

0

2

1

2

.6.

.7.

рядка. Применим наш метод и начнем удалять одну вершину за другой (рис.6). После удаления n-го узла к каждой проводимости между узлами прибавится одно и то же слагаемое
= i,n
1,n

+K+

k,n

=
n -1,n

0 , n -1

и все они станут равными


b n-1g
вак

= 0 +

n 0 = . n -1 n -1 0

Смотрите, у нас снова получился вакуум! Да, вакуум порождает вакуум, только более низкого порядка n - 1 и с более высокой вакуумной проводимостью. А я даже закон сохранения открыл: произведение порядка вакуума на вакуумную проводимость есть величина постоянная и равная n 0 . Правильно. Поздравляю с первым законом. Он позволяет сразу же получить ответ для общего сопротивления вакуума порядка n. Когда у нас останется только два узла, а сопротивление между ними и будет искомым, мы из закона сохранения получим

ной от 0 проводимостью. На рисунке 7 изображены некоторые представители этого класса. Можно сказать, что это элементарные частицы, парящие в безвоздушном пространстве? Конечно, можно. Можно даже сказать, что это живые организмы, плавающие в полном пруду, который мы назвали вакуумом. Давайте вначале выберем для расчета самую простую частицу (см. рис.7, а) между двумя узлами нет связи. Смотрите, что получится через два шага, после удаления n-го и n - 1 -го узлов (рис.8). После удаления n-го узла проводимости всех проводников, кроме выхо-

b

g

b

g

n1

n
n1

n 1
(n)

2 вак= 0

1 вак =
(n1)

2 0

1 вак =
(n2)

2 0

.8. - -

2
откуда


b2g

вак

= n 0 ,
= n 0 . 2

дящих из n - 1 -го узла, изменятся на величину 0 = n-2 и станут равными


b

g

b n-1g
вак

вак

=

Итак, для вакуума ответ у нас уже есть. Надеюсь, вы узнали в вакууме электрическую цепь, о которой мы уже упоминали сегодня? Кажется, да. Каркас куба со всеми диагоналями, в том числе и главными, это вакуум восьмого порядка. Ведь в этой цепи восемь узлов, и каждый узел связан с другими. Выходит, это совсем несложная задача. И ответ для нее у нас уже готов. Сопротивление каркаса куба, в котором есть все боковые ребра и диагонали, между двумя любыми вершинами одинаково и равно
Rпол = R . 4

А после удаления n - 1 -го узла ко всем проводимостям добавится еще раз величина 0 = , n-2 и все они окажутся равными


b

g

n -1 . n-2 0

b n -2 g
вак

=

n . n-2 0


Пора заселить наш вакуум различными существами. Давайте начнем с частиц. Вакуумом с частицами мы будем называть такие схемы, в которых некоторые внутренние узлы соединяются проводниками с отлич-

Какая интересная судьба: частица превращается в прекрасную звезду, а затем бесследно исчезает! Но ведь это означает, что простейшие частицы не меняют сопротивления вакуума. После исключения двух вершин у нас получился вакуум n - 2 -го порядка с вакуумной проводимостью такой же, какая получается после двух шагов из чистого вакуума. Совершенно верно. Никакая частица не может изменить сопротивления вакуума, оно остается равным n вак = 0 . 2

b

g


О

ПРОСТОМ

И

СЛОЖНОМ

11

Упражнение 2. Покажите, что и более сложные частицы (см. рис.7,б и в) не приводят к изменению сопротивления вакуума.

Итак, полезный вывод: наличие частиц мы можем игнорировать!


Все нетривиальные схемы это схемы, у которых каркас выделенных проводников содержит точки входа и выхода. Давайте такие каркасы называть растениями. Этот мир очень богат и сложен и содержит все виды электрических цепей. Например, самый общий случай полная цепь с различными проводимостями между узлами есть по нашей терминологии разросшееся разноцветное дерево. Да, оказывается прикосновение к входу и выходу чревато не только на практике, но и в теории. Совершенно верно. Но наша цель не анализ всех возможных случаев, а проверка принципа простоты. Частично мы в нем уже убедились полные схемы не представляют труда для расчета. Давайте теперь рассмотрим почти полную цепь и убедимся, что расчет вполне остается нам по силам. На рисунке 9 изображены три простейших растения: перемычка, элементарное растение и два элементарных растения. Найдем сопротивления этих цепей. Если
a) n 3 1 2 1 2 3 1 4 2 б) в) n

В случае элементарного растения после удаления вакуума останутся три узла (рис.10,б). Пунктирная линия обозначает проводимость n-мерного вакуума с исключенными n - 3 узлами, жирная отрицательную проводимость - 0 . Так что исключение всех регулярных узлов приводит нас к схеме с тремя узлами и проводимостями между ними, равными n 12 = 2,3 = 0 , 3 и n n-3 1,3 = 0 - 0 = 0. 3 3 Поэтому после удаления третьего узла для проводимости элементарного дерева получим n-3 n 0 0 n n-2 3 3 эл = 0 + =n . n-3 n 3 2n - 3 0 0 + 0 3 3 А в случае двух элементарных растений попробуйте произвести расчет сами и убедитесь в том, что проводимость этой схемы равна

b

g

3 =

n n-2 . 2 n -1 0

b b

g g


Пожалуй, теперь нам по силам решить изначальную задачу не только для трехмерного куба, но и для N-мерного. А мы N-мерный куб не видели! А его никто не видел. Обычно объектам присваивается статус N-мерного для особого шика, если просматривается какая-то аналогия с реальными трехмерными или двумерными объектами. Например, каркас обыч3 ного куба это электрическая схема с 2 узлами. N Поэтому электрическую схему с 2 узлами мы можем с полным правом назвать N-мерным кубом. Обобщаем дальше. Номера восьми вершин трехмерного куба в двоичной системе счисления можно записать так: 0 (0,0,0), 1 (0,0,1), ... , 7 (1,1,1). Тогда, N если у нас есть цепь с 2 узлами, мы можем каждому из них поставить в соответствие двоичный N-разрядN ный номер: 0 (0,0,....,0), . . . , (2 1) (1,1,...,1). По аналогии с трехмерным единичным кубом, эти наборы из N нулей и единиц можно назвать координатами вершин единичного N-мерного куба. Отрезок, соединяющий i-ю и k-ю вершины, будем называть ребром, если его 'длина', вычисленная по теореме Пифагора через 'N-мерные координаты':

.9. : , ,

в предыдущем разделе мы удаляли особенные узлы, то теперь давайте попробуем другой прием удаление вакуумных (регулярных) узлов. Вот что получается. В случае перемычки можно удалить все узлы, кроме входа и выхода. На рисунке 10,а показано, что останется после такого удаления. Пунктирная линия соответствует вакуумной проводимости n-мерного вакуума
a) n 1 1 2 2 б) 3 1 n 2 3 1 2

.10.

после удаления напоминает, что 0 , которую мы между узлами 1

3*

n - 2 узлов, толстая жирная линия из этой проводимости следует вычесть 'забыли' включить в исходной схеме и 2. Поэтому для перемычки получим = n n-2 - 0 = 0 . 20 2

b

g

l=

c

xi - xk

h +c
2

yi - yk

h

2

+ K + zi - zk

c

h

2

,

пер

равна единице. А если эта величина для каких-то двух вершин будет иметь максимально возможное значение N , то мы будем говорить, что эти вершины лежат на главной диагонали. Тогда ясно, что каждая вершина N-мерного куба соединяется главной диагональю только с одной вер-


12

К В А Н T 2002/2

шиной! Например, (0,0,...,0) с (1,1,...,1), (0,0,...,1) с (1,1,...,0), и т.д. Совершенно верно. Теперь сформулируем общую задачу: если в N-мерном кубе все вершины соединены между собой ребрами и диагоналями (за исключением главных), то каково сопротивление такого каркаса между различными вершинами? На рисунке 11,а изображен N-мерный куб с исключенными главными диагоналями. В зависимости от
a) 2
N1

Ома, равна
Ii,k =
i,k

b

i - k ,

g

а выделяющаяся в нем тепловая мощность Pi,k =
i,k

c

i - 1 2
n

k

h

2

.

Полная тепловая мощность, выделяющаяся в цепи, равна P 3 , 4 , K,

d

n

i

=

б) 2
N

в)
N1

i,k =1

c
i,k

i -

k

h

2

.

(1)

2

N1



+1 2


2

N

2

N1



+1 2

N1

2

N

2

N1


+1


2 1

2 1 N 2


N

2 1

2 1 N 2


N

2 1

2 1 N 2


N

(Множитель 1 2 введен в этой формуле для удобства записи области суммирования.) Итак, согласно нашему принципу, потенциалы i внутренних узлов должны быть такими, чтобы величина тепловыделения была минимальной. Это условие позволяет определить потенциал n-го узла n через потенциалы всех остальных узлов. Выделяя в выражении для тепловой мощности слагаемые, содержащие n , получим P= 1 2

i,k =1

c

i,k

n -1

i -

k

h + c
2 i,k i =1

n -1

n -

i

h

2

.

(2)

.11. N

Вклад потенциала n квадратичный:
2 n

того, как мы подключим вход и выход, у нас может получиться либо вакуум с частицами и перемычкой (рис.11,б), где вход и выход лежат на главной диагонали, либо вакуум с частицами и двумя элементарными растениями (рис.11,в). Для каждого случая ответ нам уже известен: n-2 1 = 0 = 2 N -1 - 1 0 2 и 2 N 2 N -1 - 1 n n-2 2 = 0 = 0. 2 n -1 2N - 1


i =1

n -1



i,n

- 2

n


i =1

n -1

i,k i +


i =1

n -1

i,k i .

2

Значение n , минимизирующее этот вклад, равно

e

j

n =



n -1



k,n



k

k =1 n -1

b b

g g

e

j


k =1

.

k,n

Для предложенной вам на олимпиаде задачи про трехмерный кубик эти ответы переходят в следующие: сопротивление между вершинами, лежащими на главR ной диагонали, равно ; между любыми другими 3 7 R. вершинами 24 Итак, наше исследование закончено. Вполне возможно, что проницательный читатель давно заметил, что многие из рассмотренных выше задач можно было бы решить обычными школьными методами. Но будем надеяться, что и метод старого узла найдет свое место в вашем арсенале.
Правило старого узла нам будет удобно получить, исходя из принципа минимума для электрических схем, который можно сформулировать следующим образом: при заданном напряжении на входе и выходе потенциалы в узлах цепи принимают такие значения, чтобы тепловая мощность, выделяющаяся в цепи, была минимальной. Теперь представим этот принцип в виде математического утверждения. Пусть потенциалы i-го и k-го узлов равны i и k (если к входу и выходу цепи приложено заданное внешнее напряжение U, то 1 = U , 2 = 0 ). Тогда сила тока, текущего по соединяющему их проводнику, согласно закону

Подставив это выражение в формулу (2), получим, что оставшиеся потенциалы должны минимизировать выражение P= 1 2

i,k =1

c

k,n

n -1

i -

k

F h + G H
2 n -1 i =1 n -1 i,n k =1

k,n

k


k =1

n -1



k,n



i

I JK

2

.

Если немного повозиться с этим выражением, то его можно представить в виде

P=

1 2

i,k =1

G GH

n -1

F



i,k

+

i,n
1,n

k,n n -1,n

+K+

I JJ c K

i -

k

h

2

.

Сравним с выражением (1). Получается, что тепловая мощность, выделяющаяся в исходной цепи, равна тепловой мощности в цепи, состоящей из n - 1 узла, которые связаны между собой проводниками с проводимостями

b

g

,k = i

i,k

+

i,n
1,n

k,n n -1,n

+K+

.

Но если и мощности, и приложенные напряжения в обоих случаях одинаковы, то и сопротивления обеих схем равны. Это и есть правило старого узла, позволяющее заменить исходную схему схемой с меньшим количеством узлов.