Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/02/kv0202sheronov.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:46 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:36:52 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п р п

$

ПРАКТИКУМ

К В А Н T $ 2002/2

АБИТУРИЕНТА


.
двух типов. В одних задачах пар, наряду с другими идеальными газами, является участником различных газовых процессов. Уравнение состояния идеального газа, в том числе и смеси различных газов, имеет вид p = nkT, где р давление, Т температура, k постоянная Больцмана, а n суммарная концентрация частиц (атомов или молекул). В этом уравнении индивидуальные свойства газов, такие как масса молекул или атомов, их размер и т.д., отсутствуют. Парциальное давление водяного пара pп в смеси газов определяется той же формулой: pп = nп kT , где nп концентрация молекул пара. Но, в отличие от других газов, пары обладают и определенной особенностью, которая отчетливо проявляется, если рассмотреть процесс изотермического изменения объема данной массы пара, содержащегося в некотором объеме. Уменьшая объем, занимаемый F паром, мы обнаружим, что при ! определенной (для данной температуры T0 ) концентрации nпн , соответствующей состоянию 2 на диаграмме pV (см. рисунок), дальнейшего роста концентрации и, следовательно, роста парциального давления пара не происходит 8 пар становится насыщенным. Взаимодействие молекул пара в этом состоянии настолько значительно, что дальнейшее уменьшение объема приводит к их слипанию пар начинает превращаться в жидкость или, как говорят, конденсируется. Эта конденсация происходит при постоянной температуре, а значит, и при постоянном давлении, которое у насыщенного пара зависит только от температуры. Отметим, что если при уменьшении объема от V2 до V3 (см. диаграмму) сконденсировалась масса пара mп , из которой образовалась жидкость той же массы, то справедливо равенство m pпн V2 - V3 = п RT0 ,



АРЫ ВОДЫ ВСТРЕЧАЮТСЯ В ОСНОВНОМ В ЗАДАЧАХ

няя энергия молей водяного пара равна U = 3RT , а молярная теплоемкость при постоянном объеме равна CV = 3 R . Если же пар становится насыщенным и происходит его конденсация или, напротив, жидкость испаряется, задача усложняется. В частности, количество теплоты, которое необходимо подводить для испарения жидкости или которое выделяется при конденсации пара, зависит от условий протекания этих процессов. Согласно первому началу термодинамики, удельная теплота испарения r = U + A , где U изменение внутренней энергии системы жидкостьпар, А работа пара против внешних сил. Обычно в процессе подвода или отвода тепла при испарении или конденсации сохраняются постоянными давление и температура (табличные данные теплот испарения различных жидкостей приводятся именно при этих условиях). Изменение внутренней энергии U связано в основном с изменением потенциальной энергии взаимодействия молекул вещества в жидком и газообразном состояниях. Работа А может быть рассчитана с помощью уравнения состояния. Так, для испарения m = 1 г воды при температуре 5 Т = 373 К и давлении насыщенного пара pпн = 10 Па необходимо подвести количество теплоты r = 2260 Дж/г. Работа пара против внешних сил, поддерживающих постоянное давление, равна A = pпн Vк - V0 , где V0 начальный 3 объем, который занимает 1 г воды при 100 њС (т.е. 1 см ), Vк конечный объем, который занимает 1 г пара при 100 њС. По уравнению состояния, плотность пара при комнатных температурах (; 300 К ) примерно в тысячу раз меньше плотности воды (т.е. 1 г см 3 ), поэтому

c

h

A = pпнVк =

m

RT 170 Дж .

d

i

где молярная масса пара. Это равенство в дальнейшем мы будем неоднократно использовать. Напомним также, что давление насыщенного пара чрезвычайно сильно зависит от его температуры. Так, при 0 њС (Т = 273 К) это давление составляет 4 мм рт.ст., при температуре 20 њС (293 К) оно уже в 5 раз больше, т.е. составляет 20 мм рт.ст., а при 100 њС (373 К) оно достигает 760 мм рт.ст. (1 атм). Таким образом, при изменении температуры от 273 К до 373 К давление насыщенного пара увеличивается в 190 раз. В задачах, связанных с насыщенным паром, его давление при 100 њС обычно считается известным, равным 1 атм, или 760 мм рт.ст. Другой тип задач связан с участием водяного пара в различных процессах отвода или подвода тепла. Пока пар остается ненасыщенным, он участвует в этих процессах как обычный трехатомный идеальный газ. В частности, внутрен-

Таким образом, вклад работы против внешнего давления в теплоту испарения невелик (; 8% ). Однако встречаются задачи, в которых его необходимо учитывать. Ниже мы рассмотрим конкретные примеры задач двух указанных типов. Задача 1.Летним днем перед грозой плотность влажного 3 воздуха (масса пара и воздуха в 1 м 3 ) равна = 1140 г м при давлении р = 100 кПа и температуре t = 30 њС. Найдите отношение парциального давления водяного пара, содержащегося в воздухе, к парциальному давлению сухого воздуха. Принять, что молярные массы воздуха и пара равны в = = 29 г/моль и п = 18 г/моль соответственно. Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж моль К . Давление влажного воздуха складывается из парциальных давлений сухого воздуха и пара:

b

g

p = pв + pп . Плотность влажного воздуха равна = в + п , где в плотность воздуха, а уравнению состояния, pп =
п п п

плотность пара. По
в в



RT и p =



RT .

Решая совместно все эти уравнения, получим в = в - p п в -
в п

b RT g

, п =

p п

в

в -

b RT g

-

п

.

п


ПРАКТИКУМ

АБИТУРИЕНТА

%

Из уравнения состояния найдем pп = в п, пв pв или окончательно pп 1 - p
в . = pв p п RT - 1 37 Заметим, как это следует из таблиц, что пар в условиях задачи оказывается в состоянии, близком к насыщению. Кроме того, расчетная величина отношения давлений пара и воздуха оказывается чрезвычайно чувствительной к численным значениям величин, входящих в условия задачи. Это связано с тем, что на фоне достаточно большого давления воздуха мы хотим оценить вклад сравнительно небольшого давления пара. Задача 2.В парнуй бани относительная влажность воздуха составляла 1 = 50% при температуре t 1 = 100 њС. После того как температура воздуха уменьшилась до t2 = 97 њС и пар 'осел', относительная влажность воздуха стала 2 = 45%. Какая масса воды выделилась из 3 влажного воздуха парной, если ее объем V = 30 м ? Известно, что при температуре t2 давление насыщенного пара на 80 мм рт.ст. меньше, чем при t 1 . Давление насыщенного пара при 100 њС составляет p1н = 5 = 760 мм рт.ст. = 10 Па, а при 97 њС p2н = 680 мм рт.ст. По уравнению состояния, массы пара в парной равны, соответственно,

Из этих двух уравнений находим 4 mп = m - M = 8 г. 3

b

g

b

b

RT

g

g

Объем который занимал пар, равен 1 V= m
п п

RT p1
п

= 13,8 л .

m1 =

где п = 18 г/моль молярная масса пара. Значит, из влажного воздуха сконденсировалась масса воды m = m1 - m2 = V
п

p V п 1 p1нV п , и m2 = 2 2 н RT 100% 1 RT2 100%

Задача 4. В сосуде объемом V1 = 20 л находятся вода, насыщенный водяной пар и воздух. Объем сосуда при постоянной температуре медленно увеличивают до V2 = = 40 л, давление в сосуде при этом уменьшается от p1 = = 3 атм до p2 = 2 атм. Определите массу воды в сосуде в конце опыта, если общая масса воды и пара составляет m = 36 г. Объемом, занимаемым жидкостью, в обоих случаях пренебречь. Анализ изотермы для пара (см. рисунок) показывает, что во время опыта парциальное давление пара оставалось постоянным (в конце опыта, как и в начале, в сосуде была вода). Давление в сосуде менялось только за счет изменения давления воздуха. Так как при постоянной температуре объем, занимаемый воздухом, увеличился вдвое, то его давление в конце опыта уменьшилось тоже вдвое. Пусть в конце опыта в сосуде осталась масса пара mп2 . Так как пар оставался насыщенным при постоянном давлении и температуре, а объем его увеличился вдвое, то в начале опыта его масса в сосуде была mп1 = mп2 2 . После этого предварительного анализа найдем давление пара pп в сосуде. В начале опыта pп + pв = p1 , где pв давление воздуха в начале. В конце p pп + в = p2 . 2 Следовательно, pп = 2 p2 - p1 = 1 атм . Так как пар насыщенный, его температура равна 100 њС. По уравнению состояния теперь можно найти массу пара в сосуде: m - mп1 m pп V2 - V1 = п2 RT = п2 RT , 2 п п

R 100%

F GH

1 p1н T1

-

2 p2н T2

I JK

, 16 кг .

Задача 3. В цилиндре под поршнем с пружиной заперты водяной пар и вода, масса которой М = 1 г. Температура в цилиндре поддерживается постоянной и равной 100 њС. Когда из цилиндра выпустили часть пара массой m = 7 г, поршень стал двигаться. После установления равновесия объем содержимого в цилиндре под поршнем оказался в 2 раза меньше первоначального. Какая масса пара была в цилиндре и какой объем он занимал в начале опыта? Поршень занимает положение равновесия у дна цилиндра, когда пружина не напряжена. 3 Вода вначале занимала объем 1 см , тогда как пар, по уравнению состояния, занимал объем не меньше 12 л, так что объемом, занимаемым водой можно пренебречь. Пар в начале насыщенный (в цилиндре есть вода), и его давление 5 равно p1н = 10 Па. В конце опыта давление пара составляло 5 , p2 = 05 p1н = 0,5 10 Па, там как сила, действующая со стороны пружины на поршень, уменьшилась вдвое. Вся вода при этом испарилась, поскольку поршень перестал двигаться, и пар стал ненасыщенным. Пусть начальная масса пара равна mп . Тогда в начале опыта p1пV = m
п п

c

h

где п = 18 г/моль молярная масса пара, откуда m
п2

=

2 п pп RT

cV

2

- V1 = 24 г .

h

Итак, в сосуде осталась масса воды mв = m - m
п2

= 12 г .

RT ,

где п малярная масса пара. В конце опыта 1 2
7*

p1

V
п

2

=

mп + M - m
п

RT .

Задача 5. Жидкость и ее насыщенный пар находятся в цилиндре под поршнем при некоторой температуре. При медленном изобарическом нагреве температура системы повысилась до 100 њС, а объем увеличился на 54%. На сколько градусов нагрели содержимое цилиндра, если масса пара вначале составляла 2/3 от полной массы смеси? Начальным объемом жидкости по сравнению с объемом системы пренебречь. Пусть массы пара и жидкости вначале были mп и mж , а температура в сосуде была Tн . При изобарическом нагреве смеси ее температура не меняется, пока жидкость испаряется. По условию, температура повысилась до Tк = 373 К, значит, вся жидкость испарилась (состояние 2 на рисунке)


&

К В А Н T $ 2002/2

и пар массой mп + mж при том же давлении нагрелся на T = Tк - Tн . Запишем уравнения состояния для начального и конечного состояний системы: m pVн = п RTн , п RTк , п где п молярная масса пара. По условию, , Vк = Vн = 154Vн и m
п ж

pVк =

mп + m

ж

ли немного воды и стали медленно нагревать содержимое. Определите давление воздуха в сосуде до впрыскивания воды, если к тому моменту, когда вся вода испарилась, давление воздуха составляло 46% от общего давления в сосуде. Начальный объем воды составил 1/1100 от объема сосуда. Универсальная газовая постоянная R = = 8,31 Дж моль К , молярная масса воды М = 18 г/моль, 3 плотность воды = 1 г см . V0 , тогда масса пара в конечном Пусть объем сосуда состоянии, равная начальной массе воды, составляет

b

g

mп =

V0 1100

.

mп + m Tк и окончательно Tн

==

2 3

Запишем уравнение состояния для воздуха вначале: . p1вV0 = m
в в

RT1 ,

Из приведенных равенств находим = , - 1

T = Tк - Tн = Tк

10 К .

Задача 6.В сосуде находятся жидкость и ее насыщенный пар. В процессе изотермического расширения объем, занимаемый паром, увеличивается в = 3 раза, а давление пара уменьшается в = 2 раза. Найдите отношение массы жидкости mж к массе пара mп , которые первоначально содержались в сосуде. Объемом, занимаемый жидкостью, пренебречь. В изотермическом процессе давление уменьшается в 2 раза, а объем увеличивается в 3 раза. Следовательно, система жидкостьпар массой mп + mж из начального состояния, соответствующего состоянию 3 на рисунке, переходит в конечное, соответствующее состоянию 1 на том же рисунке. В промежуточном состоянии 2 вся жидкость испарилась при постоянном давлении p = pпн и заняла объем V2 : pпнV2 = mп + m
п ж

где в молярная масса воздуха. В конечном состоянии пар и воздух занимают один и тот же объем и имеют одинаковую температуру. Поэтому их давления pп и p2в относятся, как соответствующие количества молей: pп m = п в. mв p2 в С другой стороны, по условию задачи, p2
в

p2 в + pп

, = = 046 .

Записанные равенства позволяют определить отношение масс пара и воздуха: m m m RT1 V0 RT1
в

=





в

п

1- 1

и начальное давление воздуха в сосуде: p1в =
в в

=

m

п

V0 1 -

= RT1

1 - 1100

10 Па .

5

RT ,

где п молярная масса пара. В конечном состоянии 1 та же масса пара при давлении p1 = pпн и той же температуре заняла объем V1 : p1V1 = mж + m
п п п

RT .

Задача 8.Вода и водяной пар находятся в цилиндре под поршнем при температуре 110 њС, при этом вода занимает 0,1% объема цилиндра. При медленном изотермическом увеличении объема вода начинает испаряться. К моменту, когда она вся испарилась, пар совершил работу А = 177 Дж, а объем, который он занимал, увеличился на V = 1,25 л. Найдите давление, при котором производился опыт. Сколько воды и пара было в цилиндре в начальном состоянии? Если V объем цилиндра, то начальная масса воды равна mж = V 10 , где = 10 кг м плотность воды. При постоянном давлении и температуре вода испарилась, и пар совершил работу A = pV = m
ж п 3 3 -3

По условию задачи, в начальном состоянии пар массой m занимал объем V3 = V1 : m pпнV3 = п RT . п Из этих равенств находим V1 = V2 , mп + m m Тогда окончательно m
ж п ж



RT ,

=

V2 V3

=

V1 V1 1 .

=



.

где п = 18 г/моль молярная масса пара. Это равенство позволяет определить давление р, при котором проводился опыт: A 5 p= = 142 10 Па , , V а затем и массу жидкости в начале опыта: mж = A
п

2 mп Задача 7. В герметичный сосуд, содержащий сухой воздух при температуре 17 њС и некотором давлении, впрысну-

=

-1=

RT

= 1 г.

Начальную массу пара (пар занимал 99,9% объема цилинд-


ПРАКТИКУМ

АБИТУРИЕНТА

'

ра) найдем по уравнению состояния: mж m pV = p = п RT , -3 п 10 откуда p mж п , mп = = 08 г . -3 RT 10 Задача 9. В цилиндре под поршнем находится смесь ж молей жидкости и п молей ее насыщенного пара при температуре Т. К содержимому цилиндра подвели количество теплоты Q при медленном изобарическом процессе, и температура внутри цилиндра увеличилась на T . Найдите изменение внутренней энергии содержимого цилиндра. Объемом, занимаемым жидкостью, пренебречь. При медленном подводе тепла в изобарическом процессе температура не менялась, пока не испарилась вся жидкость. В дальнейшем температура пара в количестве п + ж увеличилась на T . По закону сохранения энергии, где p Vк - Vн работа пара против внешнего давления. По уравнению состояния, pVн = п RT , pVк = п + Окончательно находим

Таким образом, окончательно находим Q13 = Q = п RT ln k откуда
Упражнения

F GH

п -
п

ж

I JK

+ ж ,

= 2Q - 2 RT ln 2 .
1. После теплого летнего дождя относительная влажность воздуха достигла 100%. При этом плотность влажного воздуха (масса пара и воздуха в 1 м 3 ) = 1171 г м 3 , его давление р = = 100 кПа и температура t = 22 њС. Найдите по этим данным давление насыщенного пара при температуре 22 њС. Молярные массы воздуха и пара равны в = 29 г/моль и п = 18 г/моль соответственно, универсальная газовая постоянная R = = 8,31 Дж моль К . 2. В цилиндре под поршнем с пружиной заперт водяной пар в объеме V1 = 4 л. Температура в цилиндре поддерживается постоянной и равной 100 њС. В цилиндр впрыскивается m = 4 г воды, и поршень начинает перемещаться. После установления равновесия часть воды испарилась, а объем цилиндра увеличился в 2 раза. Какая масса пара была в цилиндре вначале? Сколько воды испарилось к концу опыта? 3. Влажный термометр психрометра, висящего в комнате, показывает температуру 13 њС ( Tв = 286 К). Сухой термометр этого психрометра показывает при этом температуру 15 њС ( Tс = 288 К). Какова относительная влажность воздуха в комнате? Сколько росы выпадет из каждого кубометра влажного воздуха комнаты, если температура в ней понизится и сухой термометр будет показывать температуру 10 њС? Давление насыщенного водяного пара при температуре 15 њС равно р = 12,8 мм рт.ст. Также известно, что вблизи комнатной температуры малые относительные изменения давления насыщенного водяного пара p p связаны с малыми относительными изменениями его температуры T T соотношением p p = 18 T T . 4. Смесь воды и ее насыщенного пара занимает некоторый объем при температуре 90 њС. Если смесь нагревать изохорически, то вся вода испаряется при увеличении температуры на 10 њС. Чему равно давление насыщенного водяного пара при 90 њС, если в начальном состоянии масса воды составляла 29% от массы всей смеси? Объемом воды по сравнению с объемом смеси пренебречь. 5. Насыщенный водяной пар находится в цилиндре под поршнем при температуре t = 120 њС. При медленном изотермическом уменьшении объема цилиндра пар начинает конденсироваться. К моменту, когда сконденсировалось m = 5 г пара, объем пара уменьшился на V = 4,5 л. Какая работа была совершена внешней силой в этом процессе? Сколько пара было в цилиндре вначале, если в конце опыта вода занимала 0,5% объема цилиндра?

b

g

c

h

Q = U + p Vк - Vн ,

c

h

c

ж

hRbT
ж

+ T .

g

U = Q - ж RT - п +

c

h

RT .

Задача 10.В цилиндре под поршнем находится один моль ненасыщенного пара при температуре Т. Пар сжимают в изотермическом процессе так, что в конечном состоянии половина его массы сконденсировалась, а объем пара уменьшился в k = 4 раза. Найдите молярную теплоту конденсации пара, если в указанном процессе от системы жидкость пар пришлось отвести количество теплоты Q (Q > 0). Пар можно считать идеальным газом. Указание. Работа, совершаемая в изотермическом процессе молями пара при расширении от объема V1 до V2 V равна A = RT ln 2 . V1 Конденсация пара начнется в состоянии 2 (см. рисунок), и в дальнейшем до конечного состояния 3 давление меняется не будет. Количество образовавшейся жидкости равно половине первоначального количества пара, т.е. ж = п 2. Количество теплоты, отведенное на участке 13, равно Q13 = Q12 + Q23 . На участке 12 пар остается ненасыщенным, его внутренняя энергия в изотермическом процессе не меняется, поэтому тепло отводится в количестве, равном работе сжатия внешних сил: V Q12 = п RT ln 1 . V2 На участке 23 конденсация пара и выделение тепла происходят при постоянном давлении и температуре, и Q23 = ж , где молярная теплота конденсации пара. Кроме того, для этого участка из уравнения состояния находим p2 V2 - V3 = ж RT . Последнее равенство, уравнение состояния p2V2 = п RT и условие V1 = kV3 позволяют найти отношение объемов V1 V2 : V1 - ж =k п . V2 п
8 Квант ?2

d

i

'' : http://www.courier.com.ru Vivos Voco! http://vivovoco.nns.ru ( ' ') ' ' math.child.ru