Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/01/57.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:45 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:17:18 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http news.cosmoport.com 2003 01 24 4.htm

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ

#%
10
n 5

ВН. Поэтому

S ABC . 4 1 5 6. - , - , +1, + 3 . Указание. Перепишем систему: 3 3 2 - 6 - 2a x , sin x = sin 2
DMC

S

=

1

1. 1; 2 7 7; 8 .

b

bg

2.

,

4

+

k 2

, n, k Z , n, k 0 .

1) Если единственное на [0; 2] решение х не совпадает с или

R | | S | | | T

cos x = a -

F GH

F GH

2 3

I cosF JK GH

I JK

2

- 6 - 2a x . 2

2

I JK

3. 3 + 5 . 16 , центр вне треугольника; 4. а) 3 б)

85 3

5. 1; 5 ;

3 2

, то из первого уравнения последней системы вытека-

2 v = 2x + y xy.

b g FGH

, центр внутри треугольника.

5

; 2 . Указание. Перейдите к переменным u =

I JK

xy 2

,

- 6 - 2a x имеют равные по модулю не2 нулевые косинусы, и тогда второе уравнение приводит к ра1 5 2 венству a - = +1 , т.е. a = - или a = . 3 3 3 1 Убедитесь, что при a = - уравнение действительно имеет 3 5 такое единственное решение на отрезке [0; 2], а при a = 3 решение не единственно. единственное решение системы на [0; 2], то 2) Если 2 a = + 3. 3 единственное решение системы на [0; 2], 3) Если x = 2 то 2 3 -1 = sin - 6 - 2a 2 2
ет, что числа х и



2

6. 7 ч; 55 км. Выберем прямоугольную систему координат с центром в точке С. Без уменьшения общности можно считать, что точка А находится на положительной полуоси абсцисс, а точка В на положительной полуоси ординат. Тогда, поскольку по условию АС = СВ = 275 (км), через время t (ч) после начала движения координаты первого мотоциклиста суть 275 - 44 t; 0 , а второго 0; 275 - 33t . Квадрат расстояния r t между этими точками равен
r
2

bg t bg = b27

b

g

b

g

5 - 44 t

=

g + b 2 75 - 3 3 t g = 11 eb25 - 4t g + b2
2 2

2

2

5 - 3t

gj
2

= 55 t - 14t + 50 .

2

e

2

j

Минимум функции

r t = 55 t - 14t + 50
в силу свойств квадратного трехчлена достигается при t0 = 7 и равен

bg

2

F GH




2

I JK

rt
7.

di
0

= 55 49 - 98 + 50 = 55 .

- 6 - 2a
2

2

3 2 2 3 +

= 4 3

3 2

+ 2 n , n Z

6 - 2a 6 - 2a

=- = 2

n, n Z

5 , 2 a = + , + 1. 3 3 Осталось проверить найденные значения а.
2

3 . Указание. Так как сфера в точке А касается плоскости 4 АВС, ее диаметр AD перпендикулярен этой плоскости. Сечением сферы плоскостью ABD является окружность с диаметром AD, для которой АВ касательная, а BD секущая. Из прямоугольного треугольника ABD находим BD, а затем ВМ. Аналогично находим отрезки CD и CN, а потом и MN из треугольника DMN.
8. 3 7 10 ; 11 . Решение данного уравнения это две непересекающиеся серии

lq

j

9
1.

4

+

2

n, n Z .

2. 1.

3. 3; 4 .

5. 2 n < x < дится к виду

2

b

4. 2 3 - 3 6 .

e

j

+ 2 n , n Z . Указание. Неравенство приво-

а последнее неравенство верно на всей области допустимых значений. 6. Нельзя. Возьмем систему координат с началом в угловом дереве и осями, направленными вдоль сторон участка (рис.17). Два других дерева должны располагаться вне круга с центром в О и радиусом 2,5, т.е. на выделенном на рисунке участке. Разница абсцисс этих деревьев получится меньше 2, а разница ординат y не больше 1. Следовательно, расстояние 1 между ними будет A меньше 2 2 2 + 1 = 5 < 2,5 , 1 2,5 O x т.е. задание выпол. 17 нить нельзя.

dlog b


sin x - log sin 2 x

g

b

gi

2

0,

Заметим, что расстояние между соседними точками первой се13 рии равно , а второй . Длина отрезка, указанного в 2 условии задачи,

LM MM NM

x1 = n, x2 = 13 4

b

2 n + 1 ,

g

n Z .

l = a + 1 2a = a - 1 .
Всякий отрезок, длина которого l < 4 , содержит не более четырех корней первой серии и не более одного второй. Если же l 6,5 , то отрезок такой длины содержит как минимум шесть корней первой серии и по крайней мере один второй. Таким образом, ровно шесть различных корней уравнения на данном отрезке могут быть лишь при условии
4 a - 1 < 6,5 2 a - 1 <

e

2

j

b

g

2

b

g

2

6,5 .

Принимая во внимание условие задачи a 1, имеем 3 a < 1 + 6,5 . Если а = 3, то отрезок 6 ; 10 содержит пять корней 6 ,