Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/01/38.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:44 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:13:31 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 44

!&

К В А Н T 2002/1

Перейдем в систему отсчета, связанную с первым телом и движущуюся поступательно относительно лаборатории. В этой системе положение точки 2 в любой момент времени определяется вектором


r t = r2 t - r1 t = r02 - r01 + v2 - v1 t .

Отсюда следует, что в подвижной системе отсчета точка 2 движется по прямой, проходящей через начальное положение точки, определяемое равенством r0 = r02 - r01 , а направляющим вектором прямой является относительная v скорость v = v2 - v1 . Ри2 сунок 2 наглядно иллюсv трирует приведенные соL v отношения. H При произвольных аб 1 солютных скоростях v1 и v2 соотношение ( ) опиr сывает пучок прямых, проходящих через начальr ную точку. И только одна из этих прямых проходит через начало отсчета подвижной системы. Это происходит в том случае, ког . 2 да векторы r0 и v антипараллельны, т.е. соответствующие единичные векторы имеют противоположные знаки: r02 - r01 r02 - r01


bg bg bg FGH






IJ FG KH





IJ K

( )

(рис.4). Это означает, в частности, что 2 движение тела, брошенного под углом к горизонту, есть суперпозиция равномерного прямолинейного движения со скоростью v0 и свободного падения в однородном поле тяжести с нулевой начальной скоростью. Задача 3. Мышонок стреляет из рогатки точно в кота, сидящего на ветке дерева. (Вектор начальной скорости камня направлен на кота). Через t = 1 c камень падает на землю в точку, находящуюся на одной вертикали с котом. На какой высоте Н находился кот? Ускорение 2 свободного падения g = 10 м с . Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Перемещение камня за время полета t равно


векторов v0 t и



2

gt

2 (считаем r0 = 0 ). Изобразим эти векторы на рисунке 5. Отсюда получаем

r t = v0 t +

bg



2

gt

=

v1 - v2 v1 - v2






.

vt gt = 5 м. 2 Если бы гравитационные силы не действовали на камень, то через t = 1 с он действительно попал бы в кота. Заметим, что перемещение . 5 камня, брошенного под углом к горизонту, можно представить также в виде полусум мы начальной v0 и конечной v t скоростей, умноженной на время t:
H=

gt

2

bg


Как известно, в этом случае зависимости скорости и перемещения от времени имеют вид




s t = r t - r0 = v0 t +

bg bg






2

gt 2

=

v 0 + v0 + g t 2







t=

v0 + v t 2





bg

t.

v t = v0 + a t ,
2

bg







s t = r t - r0 = v0 t +

bg bg


at 2

,

где a = const ускорение. Среди всевозможных случаев равнопеременного движения особое место занимает движение под действием гравитационных сил свободное падение тел в однородном поле тяжести с постоянным ускорением a = g . Зависимость вектора скорости от времени при свободном падении иллюстрирует рисунок 3. Из соотношения для перемещения следует, что при свободном падении вектор перемещения материальной точки за время от 0 до t равен сумме L


Задача 4. Мышонок стреляет из рогатки в кота, сидящего на ветке дерева. Через t = 1 с камень попадает в ветку прямо у лап кота. На каком расстоянии s от мышонка находился кот, если известно, что векторы v0 и v t взаимно перпендикулярны? Ускорение свободного падения 2 g = 10 м с . Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Искомое расстояние есть абсолютная величина (модуль) вектора перемещения камня за время полета t:

bg

s= s t =




bg

v0 + v t 2





bg

t.

В момент времени t вектор скорости v t перпендикулярен вектору v0 и равен v t = v0 + g t (рис.6). Диагонали изображенного на рисунке 6 прямоугольника равны v0 + v t = v t - v


bg

bg





v +vt


v



CJ

LJ

CJ

bg



bg

0

= g t = gt .



L J

I J
. 4

Тогда искомое расстояние будет равно s= gt 2
2

gt vt
. 6

. 3

5 м.