Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/01/20.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:43 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:12:14 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п

К В А Н T 2002/1

снаряда, мала. Тогда в первом приближении можно считать, что 'внутри Земли' снаряд летит по прямой с постоянной скоростью v, а 2 . Таким образом, искомое расстояние равно

находим

= 2 +
откуда

gR v
2

,

L = R 2 R .
Так как 2 = 6 0,1 рад , то
L 01 6400 км 640 км . ,
o

Можно попытаться оценить величину L другим, более точным, способом, учитывая силу притяжения снаряда к центру Земли. После падения снаряд будет двигаться по участку траектории 'внутри Земли' и пролетит его с почти постоянной по величине скоростью за время t L v . За это время вектор скорости повернется на угол = - 2 (см. рисунок), причем этот поворот возникает из-за действия силы притяжения Земли на снаряд во время его полета 'внутри Земли'. Поскольку сила притяжения почти перпендикулярна скорости, приращение скорости снаряда равно v v gt gL v . Таким образом,

2 , gR 1- 2 v и для L = R получаем прежнюю формулу ( ). А.Андрианов =

1794. По гладкой горизонтальной поверхности скользит гантелька легкий жесткий стержень длиной L, на концах которого закреплены точечные массы М и 2М. В некоторый момент скорость легкого конца равна по величине v, а скорость тяжелого конца в два раза больше. Какой может быть сила натяжения стержня при движении гантельки?
Стол гладкий поэтому центр масс гантельки движется с постоянной скоростью и угловая скорость вращения тоже остается постоянной. Для вычисления силы натяжения стержня нужна только угловая скорость, а поступательное движение гантельки несущественно. Проекции мгновенных скоростей концов гантельки на стержень должны быть одинаковы это единственное условие, которое обязательно должно выполняться. Самая большая угловая скорость получается в том случае, когда скорости концов перпендикулярны гантельке и направлены в противоположные стороны, а самая маленькая при том же условии, но одинаково направленных скоростях. Это легко объяснить, например, для первого случая. Пусть одна из скоростей направлена не под прямым углом к стержню. Тогда придется 'повернуть' и скорость другого конца при этом угловая скорость уменьшится. А теперь простой расчет. Максимальная угловая скорость равна 1 = 3v L , сила натяжения составляет


откуда

gL v
2



L - 2 , R

2R 1780 км . ( ) gR 1- 2 v Отметим, что вычисление по этой формуле дает результат, который очень близок к точному значению L 1859 км (итог численного расчета для полета снаря2 да по эллиптической траектории при g = 10 м с , R = = 6400 км). Формулу ( ) можно получить и другим способом. Небольшой участок траектории, проходящий 'внутри Земли', на всем своем протяжении имеет приблизительно одинаковый радиус кривизны Rкр (см. рисунок). Его можно найти из условия примерного равенства вблизи поверхности Земли центростремительного ускорения 2 снаряда v Rкр и ускорения свободного падения g, откуда L Rкр v2 = 107 м = 10000 км . g

2L 6 = 3 Минимальная угловая скорость в 3 натяжения меньше, соответственно,
2 Fmax = M1

Mv 2 . L раза меньше, а сила в 9 раз:

Fmin =

Fmax 2 Mv 2 . = 9 3L

З.Рафаилов

и v2 в этих точках будут перпендикулярны проведенным радиусам. Углы между этими радиусами СА и СВ и радиусами Земли ОА и ОВ, проведенными из центра Земли О в те же точки, будут равны , так как первые перпендикулярны векторам скорости, а вторые касательным к поверхности Земли. Поскольку угол АСВ равен углу поворота вектора скорости , а угол 2 является внешним углом для треугольника АОС, то . =+ 2 2 Замечая, что 2 v R Rкр , g

Если из центра кривизны С данного участка траектории провести два радиуса кривизны в точку падения А и в точку вылета В снаряда, то векторы скоростей снаряда v1


1795. Центр тяжести спортивного автомобиля находится на равных расстояниях от передних и задних колес. Если при торможении зажимать колодками только задние колеса, то длина тормозного пути оказывается L1 , если только передние то L2 (при той же начальной скорости автомобиля). Найдите длину тормозного пути в том случае, когда колодками зажимают и передние и задние колеса.
Пусть центр масс автомобиля расположен на высоте h относительно полотна N2 дороги, а расстояние N1 l между осями передних O2 O1 v0 и задних колес равно l (см. рисунок). Для h случая торможения Fтр1 Fтр2 задними колесами заmg пишем уравнение мо-