Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/06/41.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:10 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:14:47 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: storm

ВА И А Н Ы В А РР ИАН Т Т Ы

41

Материалы вступительных экзаменов 2002 года
Московский физико-технический институт (государственный университет)
МАТЕМАТИКА Письменный экзамен Вариант 1 1. Решите уравнение 4. Один из углов треугольника равен 4 , радиус вписанной в него окружности равен 2 2 - 2 , а радиус описанной вокруг него окружности равен 3. Найдите площадь этого треугольника. 5. Найдите все значения а, при которых система

(

)

log 3 (2 - x - y ) + 2 = log 3 (17 - 8 x - 10 y ) , 2 ( x - a ) + x = y + a + 6

3 + cos 4x - 8 sin 4 x 1 . = cos x 4 (sin x + cos x )
2. Решите неравенство
log + 0 (1- x )3 3 + 2 x - x2 3 x+6 1

.

имеет ровно два решения. 6. Расстояние от центра О шара радиуса 6 2 , описанного около правильной четырехугольной пирамиды, до боковой грани равно 3. Найдите: 1) высоту пирамиды; 2) расстояние от точки О до бокового ребра пирамиды; 3) радиус вписанного в пирамиду шара. Вариант 3 1. Решите уравнение

3. Решите систему уравнений

11x - y - y - x = 1, 7 y - x + 6y - 26x = 3.
4. В равнобедренной трапеции ABCD ( BC 2 AD ) окружность касается основания AD, боковых сторон АВ и CD и проходит через точку пересечения диагоналей АС и BD. Найдите радиус окружности, если AD : BC = 7 : 5, а площадь трапеции S = 4. 5. Дано число a = 32002 + 72002 . Найдите последнюю цифру числа а и остаток от деления числа а на 11. 6. Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD равна 2. Плоскость , параллельная прямым SB и AD, пересекает пирамиду так, что в сечение можно вписать 48 окружность, причем периметр сечения равен . Найдите: 7 1) в каком отношении плоскость делит ребра пирамиды; 2) отношение объемов частей, на которые плоскость разбивает пирамиду; 3) расстояние от центра описанной около пирамиды сферы до плоскости . Вариант 2 1. Решите уравнение
arcc tg 1- x + arc co s 2x = . 2x 2

sin2 x + sin2 2x = 1 -
2. Решите неравенство
2log
2 x -8

cos 3x . cos 2x

(

x + 3 - 7 - x < 1.

)

3. Окружность с центром на стороне АВ равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС) проходит через точку А, пересекает отрезок АС в точке F, касается отрезка ВС в точке G и пересекает отрезок АВ в точке Е, причем GC BG = 3 - 1 , FC = а. Найдите радиус окружности. 4. Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD равна 4 2 , угол между боковым ребром пирами1 ды и плоскостью основания равен arctg . Точка М 4 середина ребра SD, точка K середина ребра AD. Найдите: 1) объем пирамиды CMSK; 2) угол между прямыми СМ и SK; 3) расстояние между прямыми СМ и SK. 5. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

(

a - 6 + x -1

)(

a - x2 + 2x = 0

)

имеет: 1) ровно три корня, 2) ровно два корня. 6. Решите систему уравнений
2 x 3 - y3 - 2 z 3 + xyz + 5 = 0, 3 3 3 y + 2 z - x - 2 xyz - 2 = 0, 3 3 3 x - y - z + xyz + 4 = 0.

2. Найдите действительные решения системы уравнений

x3 y3 x2 y + 3 = x + y , y 3 10 1 y y + x3 + x2 = 0.
3. Решите неравенство
500 + 30 x - 2x 2 > 10 - x . 2x + 5

ФИЗИКА Письменный экзамен Вариант 1 1. Шайба массой m скользит со скоростью v0 по гладкой горизонтальной поверхности стола, попадает на покоящийся клин массой 2m, скользит по нему без трения и отрыва и