Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/06/39.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:10 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:14:47 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п

ПРАКТИКУМ

АБИТУРИЕНТА

39

это уравнение имеет единственный корень t = 2. Отсюда получаем ответ. Ответ: х = 1/4. Теперь привлечем соображения монотонности к решению системы уравнений. Задача 14. Решите систему уравнений

м x5 + xy4 = y10 + y6 , п н6 2 3 п x + x = 8 y + 2y. о
Решение. Заметим, что пара х = 0, системы. Если же y ? 0 , то и x ? уравнение так: 5 x ж xц 5 з yч + y = y + иш у = 0 решение данной 0 . Перепишем первое
y.

Поскольку функция f t = t 5 + t возрастающая, из полученного равенства следует, что
x = y , т.е. x = y2 . y

лентности этих определений не составит для вас особого труда. Функция y = f x возрастает (убывает) на промежутке I тогда и только тогда, когда для любых u и v из этого промежутка знаки чисел f u - f v и u v совпадают (соответственно, противоположны). Это замечание позволяет в целом ряде задач, связанных с исследованием знака функций, заменить разность f u - f v на более простое выражение u v. Для решения конкретных задач полезно помнить, что знаки чисел a2 - b2 и a b при положительных а и b совпадают, а при отрицательных противоположны (подумайте, что можно сказать, если знаки а и b противоположны, а также если рассматривать не квадраты, а любые положительные степени!). Одинаковы будут также знаки чисел 2u - 2v и u v, log2 u - log2 v и u v, arctg u - arctg v и u v, а вот знаки чисел log0,5 u - log0,5 v и u v противоположны.
Упражнение 12. Докажите, что совпадают знаки следующих чисел: б) u - v и u v; а) u - v и u2 - v2 ; в) au - av и u - v a - 1; г) loga u - loga v и u - v a - 1 ; д) a x - b и x - loga b a - 1 ; е) loga x - b и x - ab a - 1 .

Аналогично, из возрастания функции g t = t 3 + t следует, что второе уравнение системы равносильно уравнению

x 2 = 2y .
Осталось решить систему
м x = y 2, п н2 п x = 2 y. о





Рассмотрим теперь несколько примеров. Задача 15. Решите неравенство
2 - x + 4x - 3 ? 2. x Решение. Область определения данного неравенства описывается системой м x ? 2, н о x ? 0.

Ответ: 2 3 4; 3 2 .
Упражнения 8. Решите уравнения: а) 2x + 1 ж 2 +





2x + 12 + 3ц + 3x 2 + 9x2 + 3 = 0 ; и ш б) log2 3x + 1 Ч log5 x + 4 + + log3 3x + 2 Ч log4 3x + 3 = 2log3 3x + 2 Ч log5 3x + 4 .
9. Решите системы уравнений:
м x + sin x = y + sin y, а) п н2 2 п x + 3xy + y = 1; о м x5 + x = y + б) п н3 2 п2x = 3y ; о
5





Поскольку мы хотели бы применить метод интервалов, перенесем число 2 в левую часть неравенства, приведем ее к общему знаменателю:
2 - x + 2x - 3 ? 0. x

y,

(10)

в) н

м2x + x = y + log2 y, п пlog2 x + y = 5. о 4
- x-a

3 Неравенство (10), очевидно, справедливо при x ? . При 2 3 x< запишем его так: 2
(10*) ? 0. x В неравенстве (10*) заменим разность корней разностью подкоренных выражений: 2 2 - x - 3 - x ? 0, x т.е. 4 x2 - 11x + 7 ? 0. x Решив последнее неравенство методом интервалов, получаем ответ. Ответ: x < 2; 1 ? x < 2 . Замечание. Как это нередко бывает, для решения задачи методом интервалов мы могли использовать разные функции. Например, мы могли рассуждать так: разность положительных чисел 2 - x и 3 - 2x имеет тот же знак, что и разность их квадратов, а дальше все аналогично. Применение монотонности упрощает и решение следующей задачи. Задача 16. Решите неравенство
2

10. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
log
3

2-x -



3- x

2



x2 - 2 x + 3 + 2



- x2 + 2 x

log

имеет ровно три корня. 11. Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство
log
1 a

1 3

2 x - a + 2 = 0



x2 + ax + 5 + 1 log5 x2 + ax + 6 + loga 3 ? 0







имеет единственное решение.

Монотонность и метод интервалов
Здесь мы рассмотрим метод решения неравенств, представляющий собой некоторое усовершенствование метода интервалов. Именно, в задачах, где существенным является знак функции, можно заменять разность значений монотонных функций разностями значений их аргументов. Это позволяет решать довольно сложные неравенства сравнительно просто методом интервалов, применяемым обычно к рациональным функциям. Для обоснования указанной замены мы переформулируем определение возрастающей функции, приведенное в самом начале этой статьи. Надеемся, что доказательство эквива-

log

x



x + 2 < 2 .