Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/06/37.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:10 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:14:46 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 101

ПРАКТИКУМ

АБИТУРИЕНТА
2 2 2 2 2 2

37

Замечание. Обратите внимание на то, что мы рассматривали отдельно два промежутка монотонности правой части. Дело в том, что все наши рассуждения верны лишь на общем промежутке монотонности двух функций. Если бы мы забыли, что правая часть монотонна не на всей числовой прямой, а лишь на полуосях оси абсцисс, произошла бы ошибка; например, 'при х = 1 левая и правая части равны, левая часть возрастает, правая убывает, поэтому при всех x < 1, x ? 0 неравенство верно'.
Упражнение 7. Решите уравнения и неравенства: а) 23 x2 + x - 1 = x + 3 - x - 1 ; б) 4 x - 1 = 32
1 x -1

a + b > c , прямоугольный, если a + b = c , тупоугольный если a 2 + b2 < c 2 (это вытекает, например, из теоремы косинусов). Решение. Ясно, что с наибольшее из трех данных чисел, k c ж cц > 1 , т.е. ведь c k = a k + b k > a k , откуда з ч > 1 , поэтому a и aш c > a ; аналогично, c > b. Далее, разделив обе части данного уравнения на положительное число c k , получим

ж aц ж bц з cч + з cч = 1. иш иш

k

k

(7*)

;

в) log 3 1 + x = 5 - x ; д) arcsin x < arccos x .





г) log2 x - log3 x = 1 - x ;

Преобразование к монотонным функциям
Во всех рассмотренных ранее задачах мы имели дело с монотонными левыми и правыми частями уравнений и неравенств, причем это была 'нужная' монотонность либо 'встречная', либо с одной стороны монотонная функция, а с другой константа. Чаще встречается ситуация, когда надо предварительно привести данное соотношение к такому виду, чтобы получились удобные для приведенных нами рассуждений функции. Вот классический пример такой задачи. Задача 10. Решите уравнение
3x + 4 x = 5 x .

а) В левой части уравнения (7*) стоит сумма монотонно убывающих функций, поэтому при k ? 1 одновременно выk k b ж bц a ж aц и з ч ? . Складывая полняются неравенства з ч ? c и cш c и cш полученные неравенства и используя уравнение (7*), получаем, что при этих значениях k

a b a+b ж aц жbц 1= з ч +з ч ? + = , т.е. a + b ? c . cc c и cш и cш
Итак, при 0 < k ? 1 треугольник со сторонами а, b и с не существует. Осталось рассмотреть k > 1. В этом случае из монотонного убывания слагаемых левой части уравнения (7*) вытекает, k a a и что одновременно выполняются неравенства ж ц < з cч c иш k b ж bц з c ч < c , откуда аналогично получим, что a + b > c, т.е. иш треугольник существует. б) Снова воспользуемся монотонным убыванием слагаемых, стоящих в левой части уравнения (7*), только теперь нам надо сравнивать k не с единицей, как в пункте а), а с числом 2 (см. комментарий); при этом, конечно, не будем забывать, что теперь у нас k> 1 (ведь треугольник с данными сторонами существует). Если 1 < k < 2, одновременно выполняются неравенства 2 k 2 k ж bц ж bц ж aц ж aц < з ч и з ч < з ч . Сложив почленно эти неравенз cч и cш и cш иш и cш ства, получаем, что при этих значениях k выполнено неравенство a 2 + b2 < c 2 , т.е. треугольник тупоугольный. Аналогично рассматриваются два остальных случая. Ответ: а) при k > 1; б) при 1 < k < 2 треугольник тупоугольный, при k = 2 прямоугольный, при k > 2 остроугольный. Приведем две задачи, где не только обнаружить, но и доказать монотонность довольно сложно. При этом по традиции, сложившейся на вступительных экзаменах в МГУ, где давались эти задачи (факультет психологии, 1982 г., и химический факультет, 1998 г.), мы постараемся обойтись без использования производной (ее применение, конечно, не запрещено, но задачи составляются так, чтобы можно было обосновать монотонность непосредственно). Задача 12. Решите уравнение
log
2 2+ 3

k

k

(6)

Комментарий. Конечно, корень х = 2 'виден' сразу (вы, наверное, помните 'египетский' прямоугольный треугольник), но доказать его единственность аналогично предыдущим случаям не удается: ведь в уравнении (6) и левая, и правая части возрастают, и применять к этому уравнению утверждение (А**) мы не можем. Но с этой ситуацией в нашем случае легко справиться. Решение. Разделив обе части уравнения (6) на не равную нулю (и даже положительную) при всех значениях х функx цию 5 , приходим к уравнению

ж 3ц ж 4ц з 5ч + з 5ч = 1 , иш иш

x

x

(6*)

у которого левая часть убывает, а в правой константа. По теореме (А) уравнение (6*) имеет не более одного корня, но х = 2 корень. Ответ: х = 2. К рассмотренной задаче примыкает и следующая, чуть более сложная задача. Задача 11. Пусть положительные числа а, b и с при некотором положительном k удовлетворяют соотношению
a k + bk = c k .

(7)

а) При каких значениях k существует треугольник со сторонами а, b и с? б) Выясните, как зависит от k вид треугольника со сторонами а, b и с, когда он существует. Комментарий. Конечно, мы должны преобразовать уравнение в духе решения задачи 10 и воспользоваться монотонностью левой части полученного уравнения. Кроме того, мы используем тот факт, что если с наибольшее из трех данных чисел, то для существования искомого треугольника необходимо и достаточно выполнение неравенства c < a + b. Для решения пункта б) вспомним, что треугольник со сторонами а, b, с, где сторона с наибольшая, остроугольный, если



x 2 + 2x - 2 = log



2+ 3



x 2 + 2x - 3 .



(8)

Комментарий. Поскольку под знаком логарифма стоят квадратные трехчлены с положительным старшим коэффициентом, ни о какой монотонности в таком виде не может быть и речи. С другой стороны, эти трехчлены, а также основания логарифмов очень 'похожи', как-то связаны друг с другом, так что попробуем удачно преобразовать основания и сделать хорошую замену переменной. Обратите внимание на то, как мы далее получим монотонную функцию, и постарайтесь освоить этот прием.